Grenzwert von Folgen und Funktionen - was ein Grenzwert ist, Schritt für Schritt

Die Idee: beliebig nahe

„Die Glieder kommen einer Zahl immer näher“ klingt nach einer guten Beschreibung des Grenzwerts, ist aber zu ungenau. Die Glieder von $\frac{1}{n}$ kommen zum Beispiel der Zahl $-1$ mit jedem Schritt näher. Trotzdem ist $-1$ nicht ihr Grenzwert: Der Abstand zu $-1$ bleibt immer größer als $1$.

Genau wird die Idee erst, wenn man sie als Herausforderung formuliert:

• Jemand gibt eine Toleranz $\varepsilon$ vor (der griechische Buchstabe Epsilon) - irgendeine positive Zahl, so klein sie auch ist.
• Du musst zeigen, ab wann alle Werte weniger als $\varepsilon$ vom Grenzwert entfernt sind.

Eine Zahl ist der Grenzwert, wenn du diese Herausforderung für jedes $\varepsilon$ bestehst. Bei einer Folge nennst du dafür einen Index $N$, ab dem alle Glieder nah genug liegen. Bei einer Funktion nahe einer Stelle $a$ nennst du einen Abstand $\delta$ (Delta) von $a$.

Ein Streifen um den Grenzwert

Geh die Animation mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten Schritt für Schritt durch. Die Punkte sind die Glieder von $a_n = \frac{n + 1}{n}$: Der Punkt über $n$ ist das Glied $a_n$.

Der Streifen ist die Herausforderung, $N$ ist deine Antwort darauf. Eine Zahl ist der Grenzwert, wenn es zu jedem noch so schmalen Streifen ein passendes $N$ gibt. Dann liegen nur endlich viele Glieder außerhalb und „fast alle“ im Streifen. Diesen Streifen nennt man auch $\varepsilon$-Schlauch.

Probier es aus: Finde ein passendes δ

Bei einer Funktion ist die Herausforderung dieselbe, nur nennst du statt eines Index einen Abstand von der Stelle $a$. Wähle eine Funktion und eine Toleranz $\varepsilon$ - sie legt den waagerechten Streifen um den Grenzwert fest. Dann such ein $\delta$: Es bestimmt den senkrechten Streifen von $a - \delta$ bis $a + \delta$. Über diesem Streifen ist der Graph grün, wo er im waagerechten Streifen bleibt, und rot, wo er ihn verlässt. Ein $\delta$ passt, wenn nichts Rotes mehr zu sehen ist.

Darauf kannst du achten:

• Bei $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist das größte passende $\delta$ genau $\varepsilon$. Für $x \ne 1$ ist die Funktion gleich $x + 1$, ihr Abstand von $2$ ist also genau $|x - 1|$.
• Verkleinerst du $\varepsilon$, muss auch $\delta$ kleiner werden - $\delta$ hängt von $\varepsilon$ ab.
• $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ und $\frac{\sin x}{x}$ sind an der Stelle selbst nicht definiert (der Graph hat dort ein Loch). Trotzdem haben beide dort einen Grenzwert, nämlich $2$ und $1$. Bei $\frac{\sin x}{x}$ und $\varepsilon = 0{,}1$ passt jedes $\delta$ bis etwa $0{,}79$.
• Bei $\frac{|x|}{x}$ passt kein $\delta$: Direkt links von $0$ ist die Funktion gleich $-1$, direkt rechts gleich $1$. Ein schmaler Streifen kann nicht beide Werte enthalten, wo du ihn auch hinlegst. Die Funktion hat bei $0$ also keinen Grenzwert.

Die Definitionen

Grenzwert einer Folge. Eine Zahl $g$ heißt Grenzwert der Folge $(a_n)$, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N$ gibt, sodass für alle $n \ge N$ gilt:

Man schreibt $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$ und sagt, die Folge konvergiert gegen $g$. Eine Folge ohne Grenzwert heißt divergent: $(-1)^n$ springt immer zwischen $-1$ und $1$ hin und her, und $n^2$ wächst über jede Schranke. Im zweiten Fall schreibt man $\lim\limits_{n \to \infty} n^2 = \infty$ und nennt die Folge bestimmt divergent; $\infty$ heißt dann auch uneigentlicher Grenzwert.

Grenzwert einer Funktion. Man schreibt $\lim\limits_{x \to a} f(x) = g$, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ gibt, sodass für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ mit $0 < |x - a| < \delta$ gilt:

Die Bedingung $0 < |x - a|$ schließt die Stelle $x = a$ selbst aus. Deshalb spielt der Funktionswert $f(a)$ keine Rolle: Er kann beliebig sein, oder $f$ ist bei $a$ gar nicht definiert.

Folgen und Funktionen zusammen. Es gilt $\lim\limits_{x \to a} f(x) = g$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_n)$ mit $x_n \to a$ und $x_n \ne a$ auch $f(x_n) \to g$ gilt. Diese gleichwertige Beschreibung heißt Folgenkriterium.

Einseitige Grenzwerte. Nähert sich $x$ der Stelle $a$ nur von rechts, erhält man den rechtsseitigen Grenzwert $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$. Bei Annäherung nur von links erhält man den linksseitigen Grenzwert $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$. Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Bei $\frac{|x|}{x}$ an der Stelle $0$ sind sie $1$ und $-1$.

Grenzwertsätze. Gilt $a_n \to A$ und $b_n \to B$, dann gilt auch $a_n + b_n \to A + B$ und $a_n \cdot b_n \to A \cdot B$, für $B \ne 0$ außerdem $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{A}{B}$. Dieselben Regeln gelten für Grenzwerte von Funktionen.

Grenzwerte sind die Grundlage der Analysis: Die Ableitung ist zum Beispiel der Grenzwert der Sekantensteigungen.

Beispiel 1: der Grenzwert einer Folge

Gesucht ist $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 3}$. Zähler und Nenner wachsen über jede Schranke, deshalb lässt sich der Grenzwert nicht direkt ablesen: Es entsteht ein unbestimmter Ausdruck der Form $\frac{\infty}{\infty}$.

Beispiel 2: der Grenzwert einer Funktion an einer Definitionslücke

Gesucht ist $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Jetzt du

Die Funktion $f(x) = 3x - 1$ hat an der Stelle $a = 2$ den Grenzwert $5$. Finde für die Toleranz $\varepsilon = 0{,}3$ ein passendes $\delta$: Für jedes $x$ mit $0 < |x - 2| < \delta$ muss $|f(x) - 5| < 0{,}3$ gelten.

Typische Fehler

• „Immer näher reicht.“ Die Glieder von $\frac{1}{n}$ kommen der $-1$ mit jedem Schritt näher, aber ihr Abstand zu $-1$ bleibt immer größer als $1$. Der Grenzwert ist die Zahl, der die Glieder beliebig nahe kommen und dann auch nahe bleiben - hier $0$.
• „Unendlich durch unendlich ist 1.“ Bei $\frac{2n + 1}{n + 3}$ wachsen Zähler und Nenner über jede Schranke, der Grenzwert ist aber $2$. Klammere zuerst die höchste Potenz von $n$ aus und kürze.
• „0/0 ist 0.“ $\frac{0}{0}$ ist ein unbestimmter Ausdruck. Faktorisiere und kürze zuerst, wie in Beispiel 2.
• „Der Grenzwert ist der Funktionswert.“ Der Grenzwert an der Stelle $a$ hängt von $f(a)$ gar nicht ab. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist bei $1$ nicht definiert, hat dort aber den Grenzwert $2$.
• „Eine Folge erreicht ihren Grenzwert nie.“ Doch, das kann sie. Die konstante Folge $5, 5, 5, \ldots$ hat den Grenzwert $5$, und jedes ihrer Glieder ist gleich $5$.

In der Oberstufe und im Studium

In der Schule lernst du Grenzwerte meist propädeutisch kennen, also als anschauliche Vorstellung ohne $\varepsilon$. Der Bildungsplan 2016 von Baden-Württemberg sagt das ausdrücklich: In den Klassen 9 und 10 arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit einem propädeutischen Grenzwertbegriff. Die momentane Änderungsrate, also die Ableitung, bestimmen sie durch Grenzwertüberlegungen aus der mittleren Änderungsrate. Einige Länder gehen weiter: Nach dem Fachlehrplan von Sachsen-Anhalt ermitteln Gymnasiastinnen und Gymnasiasten in den Schuljahrgängen 11 und 12 Grenzwerte von Funktionen, auf erhöhtem Anforderungsniveau rechnerisch und mit den Grenzwertsätzen.

Weil der Grenzwert in der Schule meist gleich bei Funktionen eingeführt wird, haben Folgen im Unterricht viel von ihrer früheren Bedeutung verloren. Die Definition mit $\varepsilon$ und $n_0$ lernst du in Baden-Württemberg zum Beispiel im Vertiefungskurs Mathematik kennen. Das ist ein zweistündiger Wahlkurs in den Klassen 11 und 12, der auf Studiengänge mit Mathematik als Pflichtfach vorbereitet, etwa Mathematik oder Informatik.

Im Mathematikstudium kommen die exakten Definitionen gleich im ersten Semester, in der Vorlesung Analysis I: Konvergenz von Folgen, der $\varepsilon$-$\delta$-Grenzwert von Funktionen und das Folgenkriterium. Dort wird der Grenzwert nicht mehr über die Anschauung eingeführt, sondern über diese Definitionen.

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