Was ist eine Ableitung? Einfach erklärt, Schritt für Schritt

Die Grundidee: Wie schnell ändert sich etwas?

Eine Funktion beschreibt, wie eine Größe von einer anderen abhängt: der Weg von der Zeit, die Temperatur von der Uhrzeit, die Kosten von der Stückzahl. Die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall ist schnell berechnet: Änderung von $y$ geteilt durch Änderung von $x$.

Kniffliger wird es mit der Änderungsrate an einer einzigen Stelle. In einem einzigen Augenblick legt das Auto keine Strecke zurück, „Weg durch Zeit“ ergibt dann $\frac{0}{0}$. Die Ableitung löst das Problem mit einem Trick: Wir berechnen die mittlere Änderungsrate auf immer kürzeren Intervallen und schauen, welcher Zahl sie sich nähert. Diese Zahl heißt momentane oder lokale Änderungsrate.

Dieselbe Idee steckt in vielen Bereichen:

• die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit, die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit,
• wie schnell sich etwas erwärmt, ist die Ableitung seiner Temperatur nach der Zeit,
• in der Wirtschaft geben die Grenzkosten an, was eine zusätzlich produzierte Einheit kostet - sie sind die Ableitung der Kostenfunktion.

Von der Sekante zur Tangente

Am Graphen ist die mittlere Änderungsrate die Steigung einer Sekante - einer Geraden durch zwei Punkte des Graphen. Du kannst die Animation mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten Schritt für Schritt durchgehen.

Wichtig: Wir haben nie $h = 0$ eingesetzt - dann käme $\frac{0}{0}$ heraus. Wir schauen nur, welchem Wert sich die Steigung der Sekante nähert. Genau das ist ein Grenzwert.

Probier’s aus: die Ableitung an jeder Stelle

Die Ableitung ist nicht nur eine einzelne Zahl. An jeder Stelle des Graphen hat die Tangente eine andere Steigung. Verschiebe den Punkt $x_0$ und beobachte die Tangente. Jede Position hinterlässt einen Punkt im unteren Diagramm, und zwar auf der Höhe der Tangentensteigung. Bevor du den ganzen Graphen von $f'$ einblendest: Versuch zu erraten, wie er aussieht.

Darauf kannst du achten:

• bei $f(x) = x^2$ liegen die Punkte auf der Geraden $y = 2x$ - das ist der Graph der Ableitung,
• wo die Funktion steigt, ist die Ableitung positiv, und wo sie fällt, ist sie negativ,
• an Hoch- und Tiefpunkten ist die Tangente waagerecht, die Ableitung also null; bei $x^3 - 3x$ passiert das an den Stellen $x = -1$ und $x = 1$,
• der Graph der Ableitung von $\sin x$ ist der Graph von $\cos x$.

Die Definition

Die Ableitung einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ ist der Grenzwert

sofern dieser Grenzwert existiert und endlich ist - dann heißt $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar. Der Bruch hinter dem Limes ist der Differenzenquotient, also die Sekantensteigung aus der Animation. Seinen Grenzwert nennt man Differentialquotient. Weil man dabei $h$ gegen null gehen lässt, heißt dieses Vorgehen in der Schule oft h-Methode. Bestimmst du die Ableitung an jeder Stelle, bekommst du eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion $f'(x)$: Sie ordnet jedem $x$ die Steigung der Tangente zu.

Die Tangente an den Graphen im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ hat die Steigung $f'(x_0)$. Ihre Gleichung lautet also

Beispiel 1: die Ableitung von x² mit der h-Methode

Wir stellen den Differenzenquotienten an einer beliebigen Stelle $x$ auf und lassen $h$ erst ganz am Schluss gegen null gehen:

Also ist $(x^2)' = 2x$. An der Stelle $x = 1$ ergibt das $2$ - genau wie in der Animation.

Beispiel 2: die Tangente an x³ an der Stelle 2

Die Tangente an den Graphen von $y = x^3$ im Punkt $P(2 \mid 8)$ hat die Steigung $12$. Ihre Gleichung ist $y = 12(x - 2) + 8$, also $y = 12x - 16$.

Jetzt du

Berechne mit der h-Methode die Ableitung von $f(x) = 3x^2 - 2x$ an der Stelle $x_0 = 1$.

Typische Fehler

• Sofort $h = 0$ einsetzen. Dann steht da $\frac{0}{0}$, und das ist keine Zahl. Erst den Differenzenquotienten vereinfachen ($h$ kürzen), dann schauen, wogegen er strebt.
• $f'(x_0)$ und $f'(x)$ verwechseln. $f'(1) = 2$ ist eine Zahl - die Steigung an einer Stelle. $f'(x) = 2x$ ist eine Funktion - die Steigung an jeder Stelle.
• „Eine Tangente hat mit dem Graphen nur einen Punkt gemeinsam.“ Beim Kreis stimmt das, bei Funktionsgraphen nicht immer. Die Tangente an $y = x^3$ im Punkt $P(1 \mid 1)$ ist $y = 3x - 2$, und sie schneidet den Graphen noch einmal im Punkt $(-2 \mid -8)$. Die Tangente beschreibt die Richtung des Graphen an einer Stelle, nicht die Zahl der gemeinsamen Punkte.
• „Jede Funktion ist überall differenzierbar.“ Der Graph von $|x|$ hat bei null eine Spitze: Rechts davon haben die Sekanten die Steigung $1$, links davon $-1$. Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert, also auch keine Ableitung an der Stelle $0$.

Im Abitur

Die Ableitung ist ein Kernthema der Analysis im Abitur. Die Grundlage bilden die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für die Allgemeine Hochschulreife von 2012, die für alle Länder verbindlich sind. Schon auf grundlegendem Anforderungsniveau sollst du Sekanten- und Tangentensteigungen bestimmen, die Ableitung als lokale Änderungsrate deuten, Funktionen mit Faktor-, Summen- und Produktregel ableiten, mit der Ableitung Monotonie und Extrema untersuchen und den Graphen der Ableitung aus dem Funktionsgraphen entwickeln - und umgekehrt. Auf erhöhtem Anforderungsniveau kommen die Kettenregel und die Deutung der Ableitung als Näherung durch eine lineare Funktion dazu. Mindestens ein Drittel der Anforderungen in der schriftlichen Prüfung muss sich auf die Analysis beziehen. In einer Beispielaufgabe der Standards geht es etwa um die Konzentration eines Medikaments im Blut: Du sollst begründen, wann sie am stärksten abnimmt, und eine Tangentengleichung aufstellen.

Seit dem Prüfungsjahr 2017 können die Länder Aufgaben aus gemeinsamen Abituraufgabenpools übernehmen, die das IQB koordiniert. Die eingesetzten Poolaufgaben veröffentlicht das IQB nach der Prüfung, soweit die Rechte es erlauben - gutes Übungsmaterial. Im Mathematikstudium geht es mit der Ableitung in der Analysis weiter: Die offene Lehrbuchreihe „Mathe für Nicht-Freaks“ etwa behandelt in ihrem Band „Analysis 1“ nach den Ableitungsregeln unter anderem den Mittelwertsatz, das Monotoniekriterium, lokale Extrema und die Regel von L’Hospital.

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Dreh eine Karte um und gib an, ob du die Antwort wusstest. Karten, die noch nicht sitzen, kommen ans Ende des Stapels. Warum es sich lohnt, sie dir in ein paar Tagen noch einmal vorzunehmen, erklärt der Ratgeber Verteilte Wiederholung.