Límite de una sucesión y de una función - explicación paso a paso

La idea: tan cerca como queramos

«Los términos se acercan cada vez más a un número» parece una buena descripción del límite, pero no es lo bastante precisa. Los términos de $\frac{1}{n}$ se acercan a $-1$ en cada paso y, sin embargo, no tienden a $-1$: ninguno está a menos de $1$ de distancia de él.

La definición exacta funciona como un reto:

• alguien elige una tolerancia $\varepsilon$ (la letra griega épsilon), cualquier número positivo, por pequeño que sea,
• tú tienes que indicar a partir de dónde todos los valores están a menos de $\varepsilon$ del límite.

Un número es el límite cuando puedes superar el reto para cualquier $\varepsilon$. En una sucesión, la respuesta es un lugar $N$ de la sucesión: a partir del término $a_N$, todos los términos cumplen la condición. En una función, cerca de un punto $a$, la respuesta es una distancia $\delta$ (delta): basta con que $x$ sea distinto de $a$ y esté a menos de $\delta$ de él.

Una franja alrededor del límite

Avanza por la animación paso a paso con los botones o con las flechas del teclado. Los puntos son los términos de $a_n = \frac{n + 1}{n}$: el punto situado sobre $n$ es el término $a_n$.

La franja es el reto, y $N$, la respuesta. Un número es el límite cuando cada franja, por estrecha que sea, tiene su $N$, de modo que fuera solo queda un número finito de términos.

Pruébalo tú: encuentra δ para una función

En una función el reto es el mismo, pero en vez de un lugar $N$ buscas una distancia al punto $a$. Elige una función y una tolerancia $\varepsilon$: es la franja horizontal alrededor del límite. Después busca un $\delta$: la franja vertical que va de $a - \delta$ a $a + \delta$. Dentro de la franja vertical, la gráfica se pone verde donde se queda en la franja horizontal y roja donde se sale. Un $\delta$ sirve cuando no queda nada en rojo.

En qué fijarte:

• para $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$, el mayor $\delta$ que sirve es igual a $\varepsilon$: para $x \ne 1$ la función vale $x + 1$, así que su distancia a $2$ es exactamente $|x - 1|$,
• si haces $\varepsilon$ más pequeño, $\delta$ también tiene que hacerse más pequeño: $\delta$ depende de $\varepsilon$,
• $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ y $\frac{\operatorname{sen} x}{x}$ no están definidas en el propio punto (la gráfica tiene un hueco), pero las dos tienen límite en él: $2$ y $1$, respectivamente; para $\frac{\operatorname{sen} x}{x}$ y $\varepsilon = 0{,}1$ sirve cualquier $\delta$ hasta $0{,}79$, más o menos,
• para $\frac{|x|}{x}$ no sirve ningún $\delta$: justo a la izquierda de $0$ la función vale $-1$, y justo a la derecha, $1$. Una franja estrecha no puede contener los dos valores, la pongas donde la pongas, así que esta función no tiene límite en $0$.

Definiciones

Límite de una sucesión. Un número $L$ es el límite de la sucesión $(a_n)$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe un número natural $N$ tal que, para todo $n \ge N$, se cumple

Se escribe $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$ y se dice que la sucesión converge a $L$. Hay sucesiones que no convergen. La sucesión $(-1)^n$ va alternando entre $-1$ y $1$: es una sucesión oscilante. La sucesión $n^2$ crece indefinidamente: se escribe $\lim\limits_{n \to \infty} n^2 = +\infty$ y se dice que diverge a más infinito.

Límite de una función. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que, para todo $x$ del dominio de $f$ con $0 < |x - a| < \delta$, se cumple

La condición $0 < |x - a|$ deja fuera el propio $x = a$. Por eso el valor $f(a)$ no importa: puede ser cualquiera, o incluso puede que $f$ no esté definida en $a$.

El límite de una función mediante sucesiones. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ si y solo si $f(x_n) \to L$ para toda sucesión $x_n \to a$ con $x_n \ne a$. Es una forma equivalente de definir el límite de una función, y lo une con el límite de una sucesión.

Límites laterales. Si $x$ se acerca a $a$ solo por la derecha, se obtiene el límite lateral por la derecha, $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$; si se acerca solo por la izquierda, el límite lateral por la izquierda, $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$. El límite existe si y solo si existen los dos límites laterales y coinciden. Para $\frac{|x|}{x}$ en $0$ valen $1$ (por la derecha) y $-1$ (por la izquierda).

Propiedades de los límites. Si $a_n \to A$ y $b_n \to B$, entonces $a_n + b_n \to A + B$, $a_n b_n \to AB$ y, si $B \ne 0$, también $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{A}{B}$. Las mismas reglas valen para los límites de funciones.

Sobre los límites se construye todo el cálculo: la derivada, por ejemplo, es el límite de las pendientes de las rectas secantes.

Ejemplo 1: el límite de una sucesión

Vamos a calcular $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 3}$. El numerador y el denominador crecen indefinidamente, así que el resultado no se ve a simple vista: es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.

Ejemplo 2: el límite de una función en un punto donde no está definida

Vamos a calcular $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Ahora tú

El límite de $f(x) = 3x - 1$ cuando $x$ tiende a $2$ es $5$. Para la tolerancia $\varepsilon = 0{,}3$, encuentra un $\delta$ que sirva: todo $x$ con $0 < |x - 2| < \delta$ tiene que cumplir $|f(x) - 5| < 0{,}3$.

Errores frecuentes

• «Basta con acercarse cada vez más». Los términos de $\frac{1}{n}$ se acercan a $-1$ en cada paso, pero su distancia a $-1$ nunca baja de $1$. El límite es el número al que se acercan tanto como queramos: aquí, $0$.
• «Infinito entre infinito da 1». En $\frac{2n + 1}{n + 3}$ el numerador y el denominador crecen indefinidamente, pero el límite es $2$. Divide primero entre la mayor potencia de $n$.
• «0/0 es 0». $\frac{0}{0}$ es una indeterminación. Factoriza y simplifica primero, como en el ejemplo 2.
• «El límite es el valor en el punto». El límite en $a$ no depende para nada de $f(a)$. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ no está definida en $1$ y, aun así, su límite cuando $x$ tiende a $1$ es $2$.
• «Una sucesión nunca alcanza su límite». Puede alcanzarlo. La sucesión constante $5, 5, 5, \ldots$ tiene límite $5$, y todos sus términos valen exactamente $5$.

En Bachillerato y en la universidad

En 1.º de Bachillerato, Matemáticas I y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I piden estimar y calcular límites a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica, y usarlos para estudiar la continuidad. En 2.º, Matemáticas II aplica las derivadas al cálculo de límites. El currículo de la Comunidad de Madrid y las directrices de la PAU de Andalucía nombran expresamente la regla de L’Hôpital. Las enseñanzas mínimas estatales no mencionan las sucesiones, pero el currículo de Madrid añade en Matemáticas I un repaso de las sucesiones numéricas y una aproximación al concepto de límite.

La PAU evalúa Matemáticas II con los criterios de evaluación del currículo. En Andalucía, por ejemplo, cada estudiante responde cinco ejercicios, y dos son de Análisis. Sus directrices citan los tipos de indeterminaciones ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$ y $0 \cdot \infty$) y piden usar los límites laterales para estudiar la continuidad y las asíntotas verticales.

En Bachillerato, el límite se trabaja sobre todo de forma intuitiva: con tablas de valores, gráficas y cálculo. La definición con $\varepsilon$ y $\delta$, llamada definición métrica, es la que recogen los manuales de Análisis Matemático, y es sobre todo cosa de la universidad.

Ponte a prueba

Tarjetas para repasar

Dale la vuelta a cada tarjeta y di si te sabías la respuesta. Las que todavía no te sabes vuelven al final del montón. Por qué conviene repasarlas dentro de unos días te lo contamos en la guía Repetición espaciada.