Limite de sequências e de funções - o que é, passo a passo

A ideia: tão perto quanto se queira

“Os termos ficam cada vez mais perto de um número” parece uma boa descrição de limite, mas é vaga demais. Os termos de $\frac{1}{n}$ chegam mais perto de $-1$ a cada passo e, mesmo assim, $-1$ não é o limite deles: a distância até $-1$ nunca fica menor que $1$.

A definição precisa funciona como um desafio:

• alguém escolhe uma tolerância $\varepsilon$ (a letra grega épsilon), que pode ser qualquer número positivo, por menor que seja,
• você precisa mostrar a partir de que ponto todos os valores ficam a menos de $\varepsilon$ do limite.

Um número é o limite quando você vence o desafio para qualquer $\varepsilon$. Numa sequência, esse ponto de partida é um índice $N$. Numa função, perto de um ponto $a$, é uma distância $\delta$ (delta) até $a$.

Uma faixa em torno do limite

Avance a animação passo a passo com os botões ou com as setas do teclado. Os pontos são os termos de $a_n = \frac{n + 1}{n}$: o ponto acima de $n$ é o termo $a_n$.

A faixa é o desafio, e $N$ é a resposta a ele. Um número é o limite quando toda faixa, por mais estreita que seja, tem o seu $N$: só um número finito de termos fica de fora.

Experimente: encontre δ para uma função

Numa função, o desafio é o mesmo, mas em vez de um índice você procura uma distância até um ponto $a$. Escolha uma função e uma tolerância $\varepsilon$: ela define a faixa horizontal em torno do limite. Depois procure um $\delta$, que define a faixa vertical de $a - \delta$ até $a + \delta$. Na faixa vertical, o gráfico fica verde onde não sai da faixa horizontal e vermelho onde sai dela. Um $\delta$ serve quando não sobra nenhum trecho vermelho.

Repare que:

• para $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$, o maior $\delta$ que serve é igual a $\varepsilon$: para $x \ne 1$, a função é igual a $x + 1$, então a distância dela até $2$ é exatamente $|x - 1|$,
• quando você diminui $\varepsilon$, $\delta$ também precisa diminuir, ou seja, $\delta$ depende de $\varepsilon$,
• $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ e $\frac{\operatorname{sen} x}{x}$ não estão definidas no próprio ponto (o gráfico tem um buraco ali), mas mesmo assim têm limite nele: $2$ e $1$ (este último é o limite trigonométrico fundamental); para $\frac{\operatorname{sen} x}{x}$ e $\varepsilon = 0{,}1$, serve qualquer $\delta$ até cerca de $0{,}79$,
• para $\frac{|x|}{x}$, nenhum $\delta$ serve: logo à esquerda de $0$ a função vale $-1$, e logo à direita, $1$. Uma faixa estreita não consegue conter os dois valores, onde quer que você a coloque, então essa função não tem limite em $0$.

As definições

Limite de uma sequência. Um número $L$ é o limite da sequência $(a_n)$ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe um número $N$ tal que, para todo $n \ge N$,

Escrevemos $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$ e dizemos que a sequência converge para $L$. Uma sequência sem limite é divergente: $(-1)^n$ fica alternando entre $-1$ e $1$, e $n^2$ cresce indefinidamente. No segundo caso, escrevemos $\lim\limits_{n \to \infty} n^2 = \infty$ e dizemos que a sequência diverge para o infinito.

Limite de uma função. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe um $\delta > 0$ tal que, para todo $x$ do domínio de $f$ com $0 < |x - a| < \delta$,

A condição $0 < |x - a|$ deixa de fora o próprio $x = a$. Por isso, o valor $f(a)$ não importa: pode ser qualquer um, e $f$ pode até nem estar definida em $a$.

Limite de uma função por meio de sequências. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ se, e somente se, $f(x_n) \to L$ para toda sequência $x_n \to a$ com $x_n \ne a$. Essa caracterização por sequências é equivalente à definição com $\varepsilon$ e $\delta$.

Limites laterais. Quando $x$ se aproxima de $a$ só pela direita, temos o limite lateral à direita, $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$; só pela esquerda, o limite lateral à esquerda, $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$. O limite existe se, e somente se, os dois limites laterais existem e são iguais. Para $\frac{|x|}{x}$ em $0$, eles valem $1$ e $-1$.

Propriedades dos limites. Se $a_n \to A$ e $b_n \to B$, então $a_n + b_n \to A + B$ e $a_n b_n \to AB$; além disso, $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{A}{B}$, desde que $B \ne 0$. As mesmas propriedades valem para limites de funções.

Os limites são a base do cálculo: a derivada é o limite dos coeficientes angulares das retas secantes.

Exemplo 1: o limite de uma sequência

Queremos calcular $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 3}$. O numerador e o denominador crescem indefinidamente, então não dá para ler a resposta de imediato: é uma indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$.

Exemplo 2: o limite de uma função num ponto fora do domínio

Queremos calcular $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Sua vez

A função $f(x) = 3x - 1$ tem limite $5$ quando $x$ tende a $2$. Para a tolerância $\varepsilon = 0{,}3$, encontre um $\delta$ que sirva: todo $x$ com $0 < |x - 2| < \delta$ precisa dar $|f(x) - 5| < 0{,}3$.

Erros comuns

• “Chegar cada vez mais perto já basta.” Os termos de $\frac{1}{n}$ chegam mais perto de $-1$ a cada passo, mas a distância até $-1$ nunca fica menor que $1$. O limite é o número do qual eles ficam tão perto quanto se queira: aqui, $0$.
• “Infinito sobre infinito dá 1.” Em $\frac{2n + 1}{n + 3}$, o numerador e o denominador crescem indefinidamente, mas o limite é $2$. Primeiro divida pela maior potência de $n$.
• “0/0 dá 0.” $\frac{0}{0}$ é uma indeterminação. Antes, fatore e simplifique, como no exemplo 2.
• “O limite é o valor no ponto.” O limite em $a$ não depende de $f(a)$. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ não está definida em $1$ e, mesmo assim, seu limite ali é $2$.
• “Uma sequência nunca atinge o seu limite.” Pode atingir. A sequência constante $5, 5, 5, \ldots$ tem limite $5$, e todos os seus termos são iguais a ele.

No ensino médio e na faculdade

A BNCC do ensino médio e a matriz de referência do Enem trazem sequências e progressões (PA e PG), mas não o conceito de limite. Algumas escolas ainda apresentam limites no fim do ensino médio, mas, em geral, a escola não trabalha essas noções de forma explícita.

Na graduação, os limites são ensinados nas disciplinas de Cálculo dos cursos de exatas e de engenharia, e também em cursos como Administração e Economia. Cálculo I quase sempre fica no primeiro período, e o limite de uma função costuma ser o primeiro conceito estudado: é a partir dele que se chega à derivada. Os livros de Cálculo apresentam a definição com $\varepsilon$ e $\delta$. Já a disciplina de Análise Real, normalmente obrigatória no bacharelado e na licenciatura em Matemática, retoma os limites de sequências e de funções com essas definições formais.

Teste o que você aprendeu

Flashcards para revisão

Vire cada cartão e diga se você sabia a resposta. Os que você não sabia voltam para o fim do baralho. No guia Repetição espaçada, você descobre por que vale a pena revê-los daqui a alguns dias.