Normalverteilung und Standardabweichung - die Glockenkurve Schritt für Schritt erklärt

Die Idee: Die meisten Werte liegen nah am Mittelwert

Eine Abfüllmaschine ist auf $1000$ g Mehl pro Packung eingestellt. Wiegst du tausend ihrer Packungen nach, zeigt die Waage nicht jedes Mal genau $1000$ g an. Die meisten Packungen liegen knapp daneben, einige weichen etwas stärker ab und nur sehr wenige deutlich. Trägst du die Massen in ein Histogramm ein, entsteht ein annähernd symmetrischer Berg in Form einer Glocke.

Die Normalverteilung ist das mathematische Modell für diese Glocke. Sie ist durch nur zwei Kenngrößen festgelegt:

• den Erwartungswert $\mu$ (griechischer Buchstabe My) - er gibt an, wo die Mitte der Glocke liegt,
• die Standardabweichung $\sigma$ (Sigma) - sie gibt an, wie weit die Werte typischerweise vom Erwartungswert entfernt sind. Ein kleines $\sigma$ ergibt eine schmale, hohe Glocke, ein großes $\sigma$ eine breite, flache.

Der Anteil der Werte in einem Bereich ist die Fläche unter der Kurve über diesem Bereich. Die gesamte Fläche unter der Kurve ist $1$, also 100 %.

Warum begegnet uns die Glocke so oft? Grob gesagt ist die Summe oder der Mittelwert vieler unabhängiger Zufallsgrößen annähernd normalverteilt, ganz gleich, wie die einzelnen Größen verteilt sind. Das ist die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes. Die Normalverteilung heißt auch Gauß-Verteilung, benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß.

Vom Histogramm zur Glockenkurve

Klick dich mit den Knöpfen oder den Pfeiltasten Schritt für Schritt durch die Animation. Die Balken zeigen die Massen von $1000$ Packungen (am Computer simuliert), die farbige Kurve ist die Normalverteilung, die sie beschreibt.

Die Kurve trifft nicht jeden Balken genau. Sie ist ein Modell: Sie beschreibt, wie sich die Massen typischerweise verteilen, nicht jede einzelne Packung. Je mehr Packungen wir wiegen, desto näher kommt das Histogramm der Kurve - probier es im Labor unten aus.

Probier es aus: μ, σ und die Fläche unter der Kurve

Mit den Schiebereglern stellst du den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ der Maschine ein, außerdem einen Bereich von $a$ bis $b$. Der Inhalt der gefärbten Fläche ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Masse einer Packung in diesem Bereich liegt. Wieg dann ein paar hundert Packungen und vergleiche den Anteil der Packungen zwischen $a$ und $b$ mit dem Flächeninhalt.

Achte dabei auf Folgendes:

• wenn du $\mu$ änderst, verschiebt sich die Kurve nur - ihre Form bleibt gleich,
• ein größeres $\sigma$ ergibt eine breitere, flachere Kurve, denn die Fläche darunter ist immer $1$,
• leg $a$ und $b$ je ein $\sigma$ links und rechts von $\mu$ (zum Beispiel $\mu = 1000$, $\sigma = 4$, $a = 996$ und $b = 1004$): Die Fläche ist 68,3 %, egal welche Werte $\mu$ und $\sigma$ haben,
• die Fläche hängt nur von den z-Werten von $a$ und $b$ ab,
• je mehr Packungen du wiegst, desto näher liegt der Anteil der Packungen zwischen $a$ und $b$ am Flächeninhalt.

Die Definition

Mittelwert und Standardabweichung von Daten. Für die Daten $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ist das arithmetische Mittel, kurz der Mittelwert,

Die Varianz der Daten, genauer die empirische Varianz, ist die mittlere quadratische Abweichung, also der Mittelwert der quadrierten Abstände vom Mittelwert. Die (empirische) Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz:

Wir quadrieren die Abweichungen, damit sich Abweichungen nach unten und nach oben nicht gegenseitig aufheben. Durch die Wurzel hat das Ergebnis wieder die Einheit der Daten, zum Beispiel Gramm. In der Statistik berechnet man die Standardabweichung einer Stichprobe oft mit $n - 1$ statt $n$ im Nenner. Bei großen Stichproben ist der Unterschied gering.

Die Normalverteilung. Eine stetige Zufallsgröße $X$ heißt normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$, wenn ihre Wahrscheinlichkeiten Flächen unter der Glockenkurve sind. Die Glockenkurve ist der Graph der Dichtefunktion

Man schreibt kurz $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ - die zweite Angabe in der Klammer ist dabei die Varianz, nicht die Standardabweichung. Die Kurve ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = \mu$ und hat dort ihren Hochpunkt. Ihre Wendestellen liegen bei $\mu - \sigma$ und $\mu + \sigma$: Bei $\mu - \sigma$ geht die Linkskurve in eine Rechtskurve über, bei $\mu + \sigma$ die Rechtskurve wieder in eine Linkskurve. Die gesamte Fläche unter der Kurve ist $1$. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ zwischen $a$ und $b$ liegt, ist die Fläche unter der Kurve von $a$ bis $b$, also das Integral $\int_a^b f(x)\,dx$. Ein einzelner Wert hat die Wahrscheinlichkeit $0$, deshalb sind $P(a < X < b)$ und $P(a \le X \le b)$ gleich.

Die Sigma-Regeln. Für jede Normalverteilung gilt:

• etwa 68,27 % der Werte liegen höchstens ein $\sigma$ vom Erwartungswert entfernt, also zwischen $\mu - \sigma$ und $\mu + \sigma$,
• etwa 95,45 % liegen höchstens $2\sigma$ vom Erwartungswert entfernt,
• etwa 99,73 % liegen höchstens $3\sigma$ vom Erwartungswert entfernt.

Standardisierung. Der z-Wert $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ gibt an, um wie viele Standardabweichungen $x$ vom Erwartungswert abweicht. Ist $X$ nach $N(\mu; \sigma^2)$ verteilt, so ist die standardisierte Zufallsgröße $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ nach $N(0; 1)$ verteilt, also standardnormalverteilt. Die Werte ihrer Verteilungsfunktion $\Phi(z) = P(Z \le z)$ findest du in Tabellen oder mit dem Taschenrechner:

Viele Tabellen enthalten nur Werte für $z \ge 0$. Für ein negatives $z$ nutzt du die Symmetrie der Kurve:

Für einen Bereich von $a$ bis $b$, wobei $z_a$ und $z_b$ die z-Werte der beiden Grenzen sind, gilt:

Beispiel 1: die Standardabweichung von fünf Zahlen

Fünf Schülerinnen und Schüler haben gestoppt, wie lange sie für ein Rätsel gebraucht haben, in Minuten: $4$, $6$, $7$, $8$ und $10$. Bestimme das arithmetische Mittel und die Standardabweichung dieser Zeiten.

Beispiel 2: der Anteil leichter Packungen

Die Masse einer Mehlpackung ist normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu = 1000$ g und der Standardabweichung $\sigma = 5$ g. Welcher Anteil der Packungen wiegt weniger als $992$ g?

Jetzt du

Die Höhe junger Tomatenpflanzen in einem Gewächshaus ist normalverteilt mit dem Erwartungswert $60$ cm und der Standardabweichung $12$ cm. Welcher Anteil der Pflanzen ist zwischen $54$ cm und $78$ cm hoch?

Typische Fehler

• In der Tabelle $x$ statt $z$ suchen. Die Tabelle gehört zur Standardnormalverteilung, also musst du zuerst standardisieren. Für $992$ g mit $\mu = 1000$ g und $\sigma = 5$ g rechnest du mit $z = -1{,}6$ weiter, nicht mit $992$.
• Das „1 −“ vergessen. $\Phi(z)$ ist die Fläche links von $z$. Für „mehr als“ brauchst du die Fläche rechts davon: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$. Zum Beispiel ist $P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.
• $\sigma$ und $\sigma^2$ verwechseln. Manche Bücher schreiben die Normalverteilung als $N(\mu; \sigma^2)$, andere als $N(\mu; \sigma)$. In $N(10; 16)$, nach der ersten Schreibweise, ist die Standardabweichung $\sqrt{16} = 4$ und nicht $16$. Schau nach, welche Schreibweise dein Buch verwendet.
• Die Sigma-Regeln auf beliebige Daten anwenden. Die Regeln gelten für Normalverteilungen. Bei anderen Formen sind die Anteile anders: Bei einer stetigen Gleichverteilung, deren Dichtefunktion auf einem Intervall konstant und außerhalb null ist, liegen nur etwa 58 % der Werte höchstens ein $\sigma$ vom Erwartungswert entfernt.
• „Ein größeres σ macht die Kurve höher.“ Es ist umgekehrt. Die Fläche unter der Kurve ist immer $1$, also muss eine breitere Kurve niedriger sein: Ihr Hochpunkt liegt auf der Höhe $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$.

In der Oberstufe und im Studium

In Baden-Württemberg gehört die Normalverteilung laut Bildungsplan 2016 zum Pflichtstoff der gymnasialen Kursstufe, im Leistungsfach wie im Basisfach. Im Leistungsfach geben die Schülerinnen und Schüler die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße mithilfe von Erwartungswert und Standardabweichung an und skizzieren die Glockenkurve. Im Basisfach beschreiben sie, wie Erwartungswert und Standardabweichung mit der Glockenkurve zusammenhängen. In beiden Fächern untersuchen sie Situationen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen, und berechnen Wahrscheinlichkeiten.

Das Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung (ZSL) begründet in seinen Fortbildungsmaterialien die Aufnahme ins Basisfach unter anderem mit der Alltagsrelevanz annähernd normalverteilter Zufallsgrößen. Als Näherung für die Binomialverteilung hat die Normalverteilung nach Einschätzung des ZSL dagegen nur noch historische Bedeutung, weil es heute digitale Hilfsmittel gibt.

Die Standardabweichung selbst kommt in Baden-Württemberg schon früher vor: In Klasse 9/10 berechnen die Schülerinnen und Schüler Erwartungswert und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße und erläutern ihren Zusammenhang am Histogramm.

Im Studium gehört die Normalverteilung zu den Grundlagen einer Einführung in die Statistik. Im offenen Wikibooks-Lehrbuch „Statistik“, das auf einem Vorlesungsskript für Studienanfänger beruht, steht sie im Kapitel über stetige Verteilungen. Direkt danach kommt der zentrale Grenzwertsatz, später folgen Konfidenzintervalle und Hypothesentests. Ähnlich ist der freie englischsprachige Kurs Online Statistics Education aufgebaut: Nach dem Kapitel über Normalverteilungen behandelt er unter anderem Stichprobenverteilungen, Schätzen und Hypothesentests.

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