Matrizen als Abbildungen der Ebene - was eine Matrix macht, Schritt für Schritt

Die Idee: Eine Matrix bildet die ganze Ebene ab

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Eine $2 \times 2$-Matrix enthält vier Zahlen, angeordnet in zwei Zeilen und zwei Spalten:

Du kannst sie als Abbildungsvorschrift lesen: Der Punkt $(x \mid y)$ wird auf den Punkt $(ax + by \mid cx + dy)$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte der Ebene zugleich, deshalb verändert sich die ganze Ebene. Sie kann dabei gedreht, gestreckt, schief gezogen oder gespiegelt werden.

Die Vorschrift ist einfacher, als sie aussieht. Du musst nur wissen, wohin zwei Vektoren abgebildet werden: $e_1$, ein Schritt entlang der $x$-Achse, und $e_2$, ein Schritt nach oben. Ihre Bilder stehen in den beiden Spalten der Matrix, und das übrige Gitter folgt ihnen.

So verändert die Matrix das Gitter

Klick dich mit den Knöpfen oder den Pfeiltasten Schritt für Schritt durch die Animation. Das blasse Gitter zeigt die Ebene vor der Abbildung, das farbige ihr Bild. Die Pfeile $Me_1$ und $Me_2$ sind die Bilder von $e_1$ und $e_2$, also die Vektoren, auf die die Matrix $M$ sie abbildet.

Alles hängt also an zwei Vektoren. Jeder Punkt setzt sich aus ihnen zusammen, denn der Ortsvektor von $(x \mid y)$ ist $x\,e_1 + y\,e_2$. Kennst du die Bilder von $e_1$ und $e_2$, kennst du deshalb das Bild jedes Punktes der Ebene.

Probier es aus: Bau dir eine Matrix

Stell mit den Schiebereglern die vier Einträge der Matrix ein. Das linke Paar ist die erste Spalte, also das Bild von $e_1$, das rechte Paar die zweite Spalte, das Bild von $e_2$. Beobachte das Gitter, das Quadrat und die Fahne, und lies unter dem Bild die Determinante ab.

Darauf kannst du achten:

• die Drehung um $90°$ und die Scherung ändern die Lage oder die Form des Quadrats, aber nicht seinen Flächeninhalt - beide haben die Determinante $1$,
• die Streckung $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1{,}5 \end{pmatrix}$ entlang der Achsen multipliziert jeden Flächeninhalt mit ihrer Determinante, also mit $3$,
• die Spiegelung $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ an der $y$-Achse hat die Determinante $-1$: Der Flächeninhalt bleibt $1$, aber die Fahne ist gespiegelt,
• bei parallelen Spalten wie $\begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist die Determinante $0$, und die Ebene fällt auf eine Gerade zusammen,
• dreh mit den Reglern eine Spalte über die andere hinweg: Genau in dem Moment, in dem beide auf einer Geraden liegen, ist die Determinante $0$. Danach hat sie das andere Vorzeichen, und die Fahne ist umgeklappt.

Die Definition

Die Matrix als Abbildung. Die Matrix $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ bildet jeden Vektor der Ebene so ab:

Die Koordinaten des Bildvektors berechnest du nach der Regel „Zeile mal Spalte“: Du multiplizierst die beiden Einträge einer Zeile mit den passenden Koordinaten des Vektors und addierst die Produkte.

In den Spalten stehen die Bilder von e₁ und e₂. Setzt du $e_1$ ein, erhältst du die erste Spalte mit den Einträgen $a$ und $c$. Setzt du $e_2$ ein, erhältst du die zweite Spalte mit $b$ und $d$. Jeder Vektor lässt sich als $x\,e_1 + y\,e_2$ schreiben, also gilt

Um die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung aufzustellen, bestimmst du deshalb die Bilder von $e_1$ und $e_2$ und schreibst sie als Spalten nebeneinander.

Linearität. Eine solche Abbildung ist linear: $M(\vec{u} + \vec{v}) = M\vec{u} + M\vec{v}$ und $M(k\vec{u}) = k\,M\vec{u}$ für jede Zahl $k$. Mit $k = 0$ folgt daraus, dass der Ursprung fest bleibt. Eine Gerade mit dem Stützvektor $\vec{p}$ und dem Richtungsvektor $\vec{d}$ besteht aus den Punkten mit den Ortsvektoren $\vec{p} + t\vec{d}$. Ihre Bilder sind $M\vec{p} + t\,M\vec{d}$. Das ist wieder eine Gerade, jetzt mit dem Richtungsvektor $M\vec{d}$, oder ein einzelner Punkt, wenn $M\vec{d} = \vec{0}$ ist. Parallele Geraden haben parallele Richtungsvektoren, also sind auch ihre Bilder parallel, solange sie nicht auf Punkte zusammenschrumpfen.

Die Determinante. Die Zahl

heißt Determinante von $M$. Ihr Betrag $|\det M|$ ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, auf das das Einheitsquadrat abgebildet wird. Dieses Parallelogramm wird von den beiden Spaltenvektoren aufgespannt. Alle anderen Flächeninhalte werden mit demselben Faktor multipliziert: Eine Figur mit dem Flächeninhalt $A$ hat ein Bild mit dem Flächeninhalt $|\det M| \cdot A$. Das Vorzeichen verrät noch mehr:

• $\det M > 0$: Die Figuren behalten ihre Orientierung,
• $\det M < 0$: Die Figuren werden gespiegelt, ihre Orientierung kehrt sich um,
• $\det M = 0$: Die Spalten sind parallel (linear abhängig), und die Ebene wird auf eine Gerade oder einen Punkt zusammengedrückt. Diese Abbildung lässt sich nicht umkehren - $M$ ist nicht invertierbar.

Verkettung zweier Abbildungen. Wird erst die Abbildung mit der Matrix $A$ und danach die mit der Matrix $B$ ausgeführt, so gehört zu dieser Verkettung die Matrix $BA$. Die zuerst ausgeführte Matrix steht rechts, weil sie zuerst auf den Vektor wirkt: $B(A\vec{x}) = (BA)\vec{x}$. Die Reihenfolge spielt eine Rolle, denn im Allgemeinen ist $BA \ne AB$. Bei der Verkettung multiplizieren sich auch die Determinanten: $\det(BA) = \det B \cdot \det A$.

Beispiel 1: das Bild eines Dreiecks und sein Flächeninhalt

Die Matrix $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ bildet das Dreieck mit den Ecken $O(0 \mid 0)$, $A(2 \mid 0)$ und $B(0 \mid 1)$ ab. Bestimme das Bilddreieck und seinen Flächeninhalt.

Beispiel 2: die Matrix einer Drehung um 90°

Bestimme die Matrix der Drehung um den Ursprung um $90°$ gegen den Uhrzeigersinn.

Jetzt du

Eine lineare Abbildung bildet $e_1$ auf $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $e_2$ auf $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ab. Stell ihre Abbildungsmatrix auf, berechne den Bildpunkt von $P(2 \mid 3)$ und gib an, was die Abbildung mit Flächeninhalten macht.

Typische Fehler

• Zeilen statt Spalten. Die Bilder von $e_1$ und $e_2$ gehören in die Spalten der Matrix. Schreibt man sie als Zeilen, wird aus der Drehung $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ - eine Drehung in die Gegenrichtung.
• „Die Reihenfolge ist egal.“ Nimm die Drehung $R$ um $90°$ gegen den Uhrzeigersinn und die Spiegelung $F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ an der $x$-Achse. Erst drehen, dann spiegeln ergibt $FR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, die Spiegelung an der Geraden $y = -x$. Erst spiegeln, dann drehen ergibt $RF = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, die Spiegelung an der Geraden $y = x$.
• „Eine negative Determinante bedeutet einen negativen Flächeninhalt.“ Flächeninhalte sind nie negativ. Bei $\det M = -2$ verdoppelt sich jeder Flächeninhalt, und die Figuren werden gespiegelt.
• „Nur die Nullmatrix hat die Determinante 0.“ Die Matrix $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ enthält keine einzige Null, und trotzdem ist ihre Determinante $2 \cdot 0{,}5 - 1 \cdot 1 = 0$. Ihre Spalten sind parallel, deshalb drückt sie die Ebene auf eine Gerade zusammen.

In der Oberstufe und im Studium

Wie viel Platz Matrizen in der Oberstufe bekommen, hängt vom Bundesland ab. Im baden-württembergischen Bildungsplan 2016 für Mathematik am Gymnasium tauchen sie nur als Schreibweise auf: Das Gaußverfahren für lineare Gleichungssysteme soll man auch in Matrixschreibweise durchführen können. Der sächsische Lehrplan für das Gymnasium hat dagegen im Grund- und im Leistungskurs einen eigenen Lernbereich Matrizen mit sechs Unterrichtsstunden. Dort schreiben die Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise und lösen sie. Sie multiplizieren Matrizen und zeigen an Beispielen, dass das Kommutativgesetz dabei nicht gilt. Als weiteres Einsatzbeispiel nennt der Lehrplan unter anderem die Drehung geometrischer Objekte in der Ebene und im Raum. Die Determinante kommt in keinem der beiden Pläne vor.

Im Studium gehören lineare Abbildungen, Abbildungsmatrizen und Determinanten zur Linearen Algebra, einer der beiden Grundvorlesungen, mit denen das Mathematikstudium normalerweise beginnt. Im offenen Wikiversity-Kurs zur Linearen Algebra kommt die Determinante nach den linearen Abbildungen und wird dort auch geometrisch gedeutet: Ihr Betrag ist das Volumen des Parallelotops, das die Spaltenvektoren aufspannen. In der Ebene ist das ein Parallelogramm und sein Volumen der Flächeninhalt - wie auf dieser Seite.

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