Matrices como transformaciones del plano - qué hace una matriz, paso a paso

La idea: una matriz mueve todo el plano

Una matriz es una tabla de números. Una matriz $2 \times 2$ tiene cuatro, colocados en dos filas y dos columnas:

Puedes leerla como una receta para mover puntos: el punto $(x, y)$ va a parar al punto $(ax + by,\ cx + dy)$. Todos los puntos del plano se mueven a la vez, así que se transforma el plano entero: puede girar, estirarse, inclinarse o reflejarse como en un espejo.

La receta es más sencilla de lo que parece. Basta con saber adónde van dos vectores: $e_1 = (1, 0)$, una unidad hacia la derecha sobre el eje $X$, y $e_2 = (0, 1)$, una unidad hacia arriba. Sus imágenes son las dos columnas de la matriz, y el resto de la cuadrícula se adapta a ellas.

Así cambia la cuadrícula

Recorre la animación paso a paso con los botones o con las flechas del teclado. La cuadrícula tenue es el plano antes de la transformación, y la de color muestra adónde lo lleva la matriz. Las flechas $Me_1$ y $Me_2$ son las imágenes de $e_1$ y $e_2$, es decir, los vectores a los que los lleva la matriz $M$.

En resumen, todo depende de dos vectores. Cualquier punto es combinación lineal de ellos, $(x, y) = x\,e_1 + y\,e_2$, de modo que si sabes adónde van $e_1$ y $e_2$, sabes adónde va cada punto del plano.

Pruébalo tú: construye una matriz

Mueve los deslizadores para elegir los cuatro elementos de la matriz. Los dos de la izquierda forman la primera columna, la imagen de $e_1$, y los dos de la derecha, la segunda columna, la imagen de $e_2$. Observa la cuadrícula, el cuadrado y la bandera, y lee el determinante debajo del dibujo.

Algunas cosas que puedes comprobar:

• el giro de $90°$ y la cizalla cambian la posición o la forma del cuadrado, pero no su área: ambos tienen determinante $1$,
• el estiramiento $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1{,}5 \end{pmatrix}$ multiplica todas las áreas por su determinante, que es $3$,
• la simetría respecto del eje $Y$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, tiene determinante $-1$: el área sigue siendo $1$, pero la bandera queda reflejada,
• con columnas paralelas, como $(1;\ 0{,}5)$ y $(2;\ 1)$, el determinante es $0$ y el plano se aplasta sobre una recta,
• si llevas una columna al otro lado de la otra, justo cuando quedan alineadas el determinante pasa por $0$ y cambia de signo, y la bandera se da la vuelta.

Definición

La matriz como transformación. La matriz $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ lleva el punto (o el vector) $(x, y)$ a

Cada coordenada de la imagen es el producto de una fila de la matriz por el vector: se multiplican los elementos correspondientes y se suman los resultados.

Las columnas son las imágenes de e₁ y e₂. Al multiplicar $M$ por $(1, 0)$ se obtiene $(a, c)$, la primera columna, y al multiplicarla por $(0, 1)$, $(b, d)$, la segunda. Como todo vector es $x\,e_1 + y\,e_2$,

Para escribir la matriz asociada a una transformación, busca adónde van $e_1$ y $e_2$ y coloca sus imágenes en columnas.

Linealidad. Una transformación así es una aplicación lineal: $M(\vec{u} + \vec{v}) = M\vec{u} + M\vec{v}$ y $M(k\vec{u}) = k\,M\vec{u}$ para cualquier número real $k$. Por eso el origen no se mueve (basta tomar $k = 0$). La recta que pasa por el punto $\vec{p}$ con vector director $\vec{d}$ está formada por los puntos $\vec{p} + t\vec{d}$, y sus imágenes son los puntos $M\vec{p} + t\,M\vec{d}$. Eso es la recta de vector director $M\vec{d}$, o un solo punto si $M\vec{d} = \vec{0}$. Las rectas paralelas tienen el mismo vector director, así que sus imágenes siguen siendo paralelas.

El determinante. El número

es el determinante de $M$. Su valor absoluto, $|\det M|$, es el área de la imagen del cuadrado unidad, es decir, del paralelogramo determinado por las dos columnas. Todas las demás áreas se multiplican por ese mismo número: una figura de área $S$ se transforma en otra de área $|\det M| \cdot S$. El signo aporta algo más:

• $\det M > 0$: las figuras conservan su orientación,
• $\det M < 0$: las figuras quedan reflejadas,
• $\det M = 0$: las columnas son proporcionales y el plano se aplasta sobre una recta o un punto. Esa transformación no se puede deshacer: $M$ no tiene inversa, es una matriz singular. Las matrices de determinante distinto de cero se llaman regulares y sí tienen inversa.

Composición: una transformación después de otra. Aplicar primero $A$ y después $B$ equivale a aplicar la matriz producto $BA$: la que actúa primero se escribe a la derecha. El orden importa, porque el producto de matrices no es conmutativo: en general, $BA \ne AB$. Las áreas se multiplican dos veces, así que $\det(BA) = \det B \cdot \det A$.

Ejemplo 1: la imagen de un triángulo y su área

La matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ transforma el triángulo de vértices $O = (0, 0)$, $A = (2, 0)$ y $B = (0, 1)$. ¿En qué triángulo se convierte y qué área tiene?

Ejemplo 2: la matriz de un giro de 90°

Halla la matriz del giro de centro el origen y ángulo $90°$ en sentido antihorario.

Ahora tú

Una aplicación lineal lleva $e_1$ a $(1, 2)$ y $e_2$ a $(-1, 1)$. Escribe su matriz, halla la imagen del punto $(2, 3)$ y explica qué hace la aplicación con las áreas.

Errores frecuentes

• Filas en lugar de columnas. Las imágenes de $e_1$ y $e_2$ son las columnas de la matriz. Si las pones en filas, el giro $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ se convierte en $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, un giro en sentido contrario.
• «El orden da igual». Sea $R$ el giro de $90°$ en sentido antihorario y $F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ la simetría respecto del eje $X$. Girar primero y aplicar después la simetría da $FR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, la simetría respecto de la recta $y = -x$. Aplicar primero la simetría y después el giro da $RF = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, la simetría respecto de $y = x$.
• «Un determinante negativo significa un área negativa». Un área nunca es negativa. Si $\det M = -2$, todas las áreas se duplican y las figuras quedan reflejadas.
• «Si el determinante es 0, la matriz tiene que tener ceros». La matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ no tiene ningún cero y, sin embargo, su determinante es $2 \cdot 0{,}5 - 1 \cdot 1 = 0$. Sus columnas son proporcionales, así que aplasta el plano sobre una recta.

En Bachillerato y en la universidad

En España, las matrices y los determinantes se estudian en 2.º de Bachillerato, en Matemáticas II. Los saberes básicos del currículo estatal (Real Decreto 243/2022) incluyen la suma y el producto de matrices, las propiedades de sus operaciones y los determinantes, y el uso de las matrices para modelizar situaciones con sistemas de ecuaciones lineales o con grafos. En Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II también hay matrices, pero ese currículo no menciona los determinantes. Los giros, las traslaciones y las simetrías se trabajan antes, en los tres primeros cursos de la ESO, aunque sin matrices.

En la PAU de Andalucía, por ejemplo, se responden cinco ejercicios de Matemáticas II, y uno de ellos es de álgebra. Según las directrices de la prueba, entran los determinantes y la matriz inversa de orden $3$ como máximo, el rango de una matriz que puede depender de uno o dos parámetros y las ecuaciones matriciales.

La lectura geométrica de esta página, la matriz como una aplicación lineal que mueve el plano, no figura en los saberes básicos del currículo estatal ni en esas directrices. Se estudia en álgebra lineal, ya en la universidad. En el libro abierto de David Austin sobre álgebra lineal, traducido al español en LibreTexts, las transformaciones matriciales aparecen en el segundo capítulo, poco después del producto de una matriz por un vector, y el determinante llega en el tercero, presentado como un área con signo, igual que en esta página.

Ponte a prueba

Tarjetas para repasar

Dale la vuelta a cada tarjeta y di si te sabías la respuesta. Las que todavía no te sabes vuelven al final del montón. Por qué conviene repasarlas dentro de unos días te lo contamos en la guía Repetición espaciada.