Matrizes como transformações do plano - o que uma matriz faz, passo a passo

A ideia: uma matriz move o plano inteiro

Uma matriz é uma tabela de números. Uma matriz $2 \times 2$ tem quatro deles, dispostos em duas linhas e duas colunas:

Dá para pensar na matriz como uma regra que move pontos: o ponto $(x, y)$ vai para o ponto $(ax + by,\ cx + dy)$. Todos os pontos do plano se movem ao mesmo tempo, e a malha quadriculada inteira muda de forma. O plano pode girar, esticar, se inclinar ou ficar espelhado.

Essa regra é mais simples do que parece. Basta saber para onde vão dois vetores: $e_1 = (1, 0)$, um passo ao longo do eixo $x$, e $e_2 = (0, 1)$, um passo para cima. As imagens deles são as duas colunas da matriz, e o resto da malha se ajusta a elas.

Como a matriz muda a malha

Avance pela animação passo a passo com os botões ou com as setas do teclado. A malha clara é o plano antes da transformação, e a malha colorida mostra para onde a matriz o leva. As setas $Me_1$ e $Me_2$ são as imagens de $e_1$ e $e_2$, ou seja, os vetores para onde a matriz $M$ os leva.

Tudo depende de dois vetores. Todo ponto é uma combinação linear deles, $(x, y) = x\,e_1 + y\,e_2$. Por isso, se você sabe para onde vão $e_1$ e $e_2$, sabe para onde vai cada ponto do plano.

Experimente: monte uma matriz

Escolha os quatro números da matriz com os controles deslizantes. O par da esquerda é a primeira coluna, a imagem de $e_1$. O par da direita é a segunda coluna, a imagem de $e_2$. Observe a malha, o quadrado e a bandeira, e leia o determinante embaixo da figura.

O que observar:

• a rotação de $90°$ e o cisalhamento mudam a posição ou a forma do quadrado, mas não a área: as duas matrizes têm determinante $1$,
• a dilatação $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1{,}5 \end{pmatrix}$ estica o plano $2$ vezes na direção do eixo $x$ e $1{,}5$ vez na direção do eixo $y$, então multiplica todas as áreas por $2 \cdot 1{,}5 = 3$, o determinante dela,
• a reflexão em relação ao eixo $y$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, tem determinante $-1$: a área continua $1$, mas a bandeira fica espelhada,
• com colunas paralelas, como $(1;\ 0{,}5)$ e $(2, 1)$, o determinante é $0$ e o plano é achatado sobre uma reta,
• mude uma coluna aos poucos até ela passar para o outro lado da outra: no instante em que as duas ficam alinhadas, o determinante passa por $0$ e muda de sinal, e a bandeira vira para o outro lado.

A definição

A matriz como transformação. A matriz $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ leva o ponto (ou o vetor) $(x, y)$ em

Cada coordenada nova é o produto de uma linha da matriz pelo vetor: multiplicamos os números correspondentes e somamos os resultados.

As colunas são as imagens de e₁ e e₂. Com $(1, 0)$ obtemos $(a, c)$, a primeira coluna, e com $(0, 1)$ obtemos $(b, d)$, a segunda. Todo vetor é $x\,e_1 + y\,e_2$, então

Para escrever a matriz canônica de uma transformação, descubra para onde vão $e_1$ e $e_2$ e coloque as imagens deles nas colunas.

Linearidade. Uma transformação assim é linear: $M(\vec{u} + \vec{v}) = M\vec{u} + M\vec{v}$ e $M(k\vec{u}) = k\,M\vec{u}$ para todo número $k$. Com $k = 0$, vemos que a origem fica fixa. A reta que passa pelo ponto $\vec{p}$ com vetor diretor $\vec{d}$ é formada pelos pontos $\vec{p} + t\vec{d}$, que vão para os pontos $M\vec{p} + t\,M\vec{d}$. Isso é uma reta com vetor diretor $M\vec{d}$, ou um único ponto quando $M\vec{d} = \vec{0}$. Retas paralelas têm o mesmo vetor diretor, então as imagens delas continuam paralelas.

O determinante. O número

é o determinante de $M$. O valor absoluto $|\det M|$ é a área da imagem do quadrado unitário, ou seja, do paralelogramo determinado pelas duas colunas. Todas as outras áreas são multiplicadas pelo mesmo número: uma figura de área $S$ vira uma figura de área $|\det M| \cdot S$. O sinal traz mais uma informação:

• $\det M > 0$: as figuras mantêm a orientação,
• $\det M < 0$: as figuras ficam espelhadas,
• $\det M = 0$: as colunas são paralelas, e o plano é achatado sobre uma reta ou um ponto. Essa transformação não pode ser desfeita: $M$ não é invertível.

Uma transformação depois da outra. Aplicar primeiro $A$ e depois $B$ equivale a aplicar a transformação de matriz $BA$: a matriz aplicada primeiro fica à direita. A ordem importa, porque em geral $BA \ne AB$. As áreas são multiplicadas duas vezes, uma por cada matriz, então $\det(BA) = \det B \cdot \det A$.

Exemplo 1: a imagem de um triângulo e a sua área

A matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ transforma o triângulo de vértices $O = (0, 0)$, $A = (2, 0)$ e $B = (0, 1)$. Em que triângulo ele se transforma e qual é a área da imagem?

Exemplo 2: a matriz da rotação de 90°

Encontre a matriz da rotação de $90°$ em torno da origem, no sentido anti-horário.

Sua vez

Uma transformação linear leva $e_1$ em $(1, 2)$ e $e_2$ em $(-1, 1)$. Escreva a matriz dela, encontre a imagem do ponto $(2, 3)$ e diga o que a transformação faz com as áreas.

Erros comuns

• Linhas no lugar de colunas. As imagens de $e_1$ e $e_2$ são as colunas da matriz. Escritas nas linhas, a rotação $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ vira $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, uma rotação no sentido contrário.
• “A ordem não importa.” Seja $R$ a rotação de $90°$ no sentido anti-horário e $F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ a reflexão em relação ao eixo $x$. Girar primeiro e refletir depois dá $FR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, a reflexão em relação à reta $y = -x$. Refletir primeiro e girar depois dá $RF = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, a reflexão em relação à reta $y = x$.
• “Determinante negativo é área negativa.” Uma área nunca é negativa. Quando $\det M = -2$, todas as áreas dobram e as figuras ficam espelhadas.
• “Só uma matriz cheia de zeros tem determinante 0.” A matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ não tem nenhum zero e, mesmo assim, o determinante dela é $2 \cdot 0{,}5 - 1 \cdot 1 = 0$. As colunas são paralelas, então ela achata o plano sobre uma reta.

No ensino médio e na faculdade

A BNCC do ensino médio não menciona matrizes nem determinantes. Na habilidade EM13MAT105, ela pede que o estudante use transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições delas) e homotetias para construir figuras. Na EM13MAT301, pede que resolva problemas com equações lineares simultâneas. Os objetos de conhecimento da matriz de referência do Enem também incluem simetrias e sistemas de equações, mas não citam matrizes. Mesmo assim, as matrizes estão nos livros escolares há muito tempo: a partir do fim dos anos 1960, esses livros passaram a privilegiar as matrizes e o escalonamento na resolução de sistemas lineares, em vez de usar só determinantes. E uma regra prática para memorizar o determinante $3 \times 3$ costuma ser ensinada no ensino médio.

Na graduação, as matrizes vistas como transformações do plano são assunto da disciplina de Álgebra Linear, presente em cursos como Matemática, Física e Engenharias. Uma ordem frequente dos conteúdos é matrizes, sistemas lineares, determinantes, espaços vetoriais e, depois, transformações lineares. O livro aberto Álgebra Linear: um livro colaborativo, do projeto REAMAT da UFRGS, segue outro caminho: a matriz canônica de uma transformação linear, com colunas $T(e_1)$ e $T(e_2)$ como nesta página, aparece na Semana 3, e o determinante só na Semana 9. Lá ele serve sobretudo para decidir se uma matriz é invertível.

Teste o que você aprendeu

Flashcards para revisão

Vire cada cartão e diga se você sabia a resposta. Os que você não sabia voltam para o fim do baralho. No guia Repetição espaçada, você descobre por que vale a pena revê-los daqui a alguns dias.