Macierz jako przekształcenie płaszczyzny - co to jest? Wyjaśnienie krok po kroku

Główna idea: macierz przekształca całą płaszczyznę

Macierz to prostokątna tablica liczb. Macierz $2 \times 2$ składa się z czterech liczb ustawionych w dwóch wierszach i dwóch kolumnach:

Każda taka macierz wyznacza regułę przenoszenia punktów: punkt $(x, y)$ przechodzi na punkt $(ax + by,\ cx + dy)$. Reguła działa naraz na wszystkie punkty płaszczyzny. Dlatego cała płaszczyzna może się obrócić, rozciągnąć, pochylić albo odbić jak w lustrze.

Ta reguła jest prostsza, niż się wydaje. Wystarczy wiedzieć, dokąd trafiają dwa wektory: $e_1 = [1, 0]$, czyli jeden krok w prawo wzdłuż osi $Ox$, i $e_2 = [0, 1]$, czyli jeden krok w górę wzdłuż osi $Oy$. Ich obrazy to dwie kolumny macierzy, a cała reszta siatki układa się według nich.

Jak macierz zmienia siatkę

Przejdź animację krok po kroku przyciskami albo strzałkami na klawiaturze. Blada siatka to płaszczyzna przed przekształceniem, a kolorowa pokazuje, dokąd przenosi ją macierz. Strzałki $Me_1$ i $Me_2$ to obrazy wektorów $e_1$ i $e_2$, czyli wektory, na które przenosi je macierz $M$.

O wszystkim decydują dwa wektory. Każdy wektor da się z nich złożyć: $[x, y] = x\,e_1 + y\,e_2$. Gdy wiesz, dokąd trafiają $e_1$ i $e_2$, wiesz też, dokąd trafia każdy punkt płaszczyzny.

Wypróbuj: zbuduj własną macierz

Ustaw suwakami cztery liczby macierzy. Lewa para suwaków to pierwsza kolumna, czyli obraz $e_1$, a prawa para to druga kolumna, czyli obraz $e_2$. Obserwuj siatkę, kwadrat i chorągiewkę, a pod rysunkiem odczytaj wyznacznik.

Na co zwrócić uwagę:

• obrót o $90°$ i ścinanie (powinowactwo ścinające) zmieniają położenie albo kształt kwadratu, ale nie jego pole: obie macierze mają wyznacznik $1$,
• rozciąganie $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1{,}5 \end{pmatrix}$ mnoży każde pole przez $3$, czyli przez swój wyznacznik,
• symetria względem osi $Oy$, czyli $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, ma wyznacznik $-1$: pole kwadratu nadal wynosi $1$, ale chorągiewka jest odbita,
• gdy kolumny są równoległe, jak $[1; 0{,}5]$ i $[2, 1]$, wyznacznik jest równy $0$, a płaszczyzna zostaje spłaszczona do prostej,
• przeprowadź suwakami jedną kolumnę przez prostą, na której leży druga: gdy obie leżą na jednej prostej, wyznacznik jest równy $0$, a zaraz potem zmienia znak i chorągiewka się odwraca.

Definicja

Macierz jako przekształcenie. Macierz $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ przekształca punkt (albo wektor) o współrzędnych $(x, y)$ na

Każdą współrzędną obrazu otrzymujemy, mnożąc wiersz macierzy przez wektor: mnożymy odpowiadające sobie liczby i dodajemy iloczyny.

Kolumny to obrazy e₁ i e₂. Wektor $[1, 0]$ przechodzi na $[a, c]$, czyli na pierwszą kolumnę, a wektor $[0, 1]$ na $[b, d]$, czyli na drugą. Każdy wektor $[x, y]$ to $x\,e_1 + y\,e_2$, więc

Żeby zapisać macierz przekształcenia, sprawdź, dokąd trafiają $e_1$ i $e_2$, i wpisz ich obrazy jako kolumny.

Liniowość. Takie przekształcenie jest liniowe: $M(\vec{u} + \vec{v}) = M\vec{u} + M\vec{v}$ oraz $M(k\vec{u}) = k\,M\vec{u}$ dla każdej liczby $k$. Dla $k = 0$ wynika stąd, że początek układu zostaje na miejscu. Prosta przechodząca przez punkt $\vec{p}$ i równoległa do wektora $\vec{d}$ składa się z punktów $\vec{p} + t\vec{d}$, gdzie $t$ to dowolna liczba. Te punkty przechodzą na punkty $M\vec{p} + t\,M\vec{d}$, czyli na prostą równoległą do wektora $M\vec{d}$ albo na jeden punkt, gdy $M\vec{d} = \vec{0}$. Proste równoległe mają ten sam kierunek, więc ich obrazy też są równoległe.

Wyznacznik. Liczbę

nazywamy wyznacznikiem macierzy $M$. Jego wartość bezwzględna $|\det M|$ to pole obrazu kwadratu jednostkowego, czyli pole równoległoboku rozpiętego na kolumnach macierzy. Pole każdej innej figury mnoży się przez tę samą liczbę: figura o polu $S$ przechodzi na figurę o polu $|\det M| \cdot S$. Znak wyznacznika niesie jeszcze jedną informację:

• $\det M > 0$: figury zachowują orientację,
• $\det M < 0$: orientacja się zmienia, czyli figury zostają odbite lustrzanie,
• $\det M = 0$: kolumny są równoległe, a płaszczyzna zostaje spłaszczona do prostej albo do punktu. Takiego przekształcenia nie da się odwrócić: macierz $M$ jest osobliwa, czyli nie ma macierzy odwrotnej.

Złożenie przekształceń. Wykonanie najpierw $A$, a potem $B$ to przekształcenie o macierzy $BA$ - macierz przekształcenia wykonanego jako pierwsze zapisujemy po prawej stronie. Kolejność ma znaczenie: na ogół $BA \ne AB$. Pola mnożą się dwa razy, przez $|\det A|$ i przez $|\det B|$, a znaki wyznaczników mówią, czy figura została odbita. Zgadza się to z twierdzeniem Cauchy’ego: $\det(BA) = \det B \cdot \det A$.

Przykład 1: obraz trójkąta i jego pole

Wyznacz obraz trójkąta o wierzchołkach $O = (0, 0)$, $A = (2, 0)$ i $B = (0, 1)$ w przekształceniu o macierzy $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Oblicz pole tego obrazu.

Przykład 2: macierz obrotu o 90°

Wyznacz macierz obrotu o kąt $90°$ wokół początku układu współrzędnych, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Teraz Ty

Przekształcenie liniowe przenosi wektor $e_1$ na $[1, 2]$, a wektor $e_2$ na $[-1, 1]$. Zapisz jego macierz, wyznacz obraz punktu $(2, 3)$ i ustal, co to przekształcenie robi z polami figur.

Typowe błędy

• Wiersze zamiast kolumn. Obrazy $e_1$ i $e_2$ to kolumny macierzy. Gdy wpiszemy je jako wiersze, macierz obrotu $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ zmieni się w $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ - obrót w przeciwną stronę.
• „Kolejność nie ma znaczenia”. Niech $R$ będzie macierzą obrotu o $90°$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a $F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ - macierzą symetrii względem osi $Ox$. Najpierw obrót, potem symetria to $FR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, czyli symetria względem prostej $y = -x$. Najpierw symetria, potem obrót to $RF = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, czyli symetria względem prostej $y = x$.
• „Ujemny wyznacznik to ujemne pole”. Pole nigdy nie jest ujemne. Gdy $\det M = -2$, każde pole rośnie dwa razy, a figury zostają odbite lustrzanie.
• „Wyznacznik jest równy 0 tylko dla macierzy zerowej”. W macierzy $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ nie ma ani jednego zera, a mimo to jej wyznacznik wynosi $2 \cdot 0{,}5 - 1 \cdot 1 = 0$. Jej kolumny $[2, 1]$ i $[1; 0{,}5]$ są równoległe, więc ta macierz spłaszcza płaszczyznę do prostej.

Na maturze i na studiach

Macierzy i wyznaczników nie ma w podstawie programowej matematyki dla liceum i technikum. Matura sprawdza wymagania z tej podstawy, więc nie ma ich też na maturze. Kilka szkolnych tematów łączy się z nimi jednak bezpośrednio. Już w zakresie podstawowym uczniowie wyznaczają obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych i w symetrii środkowej względem początku układu. W zakresie rozszerzonym dochodzą wektory: ich współrzędne, dodawanie i mnożenie przez liczbę. Z tych działań składa się zapis $x\,e_1 + y\,e_2$.

W „Wybranych wzorach matematycznych” CKE symetria względem osi $Ox$ przenosi punkt $(x, y)$ na $(x, -y)$, a symetria względem osi $Oy$ na $(-x, y)$. To przekształcenia o macierzach $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ i $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Obie mają wyznacznik $-1$ i obie odbijają figury lustrzanie. Symetria środkowa względem początku układu, $(x, y) \to (-x, -y)$, ma macierz $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ i wyznacznik $1$. Na płaszczyźnie to obrót o $180°$, więc figury nie zostają odbite.

W tych samych tablicach jest wzór na pole trójkąta $ABC$ ze współrzędnych jego wierzchołków. Wyrażenie pod wartością bezwzględną to wyznacznik macierzy, której kolumnami są wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$. Pole trójkąta to połowa pola równoległoboku rozpiętego na tych wektorach - tak jak w sprawdzeniu do przykładu 1.

Na studiach macierze i wyznaczniki należą do podstaw kursu algebry liniowej. W otwartym podręczniku Open AGH „Algebra liniowa i geometria analityczna” po liczbach zespolonych przychodzą działania na macierzach, wyznaczniki i macierz odwrotna. Geometryczny sens wyznacznika pojawia się dopiero w rozdziałach o wektorach w przestrzeni. Długość iloczynu wektorowego, zapisywanego jako wyznacznik symboliczny, to pole równoległoboku rozpiętego na dwóch wektorach. Iloczyn mieszany trzech wektorów jest wyznacznikiem, a jego wartość bezwzględna to objętość równoległościanu rozpiętego na tych wektorach. W podręczniku „Algebra liniowa” w Wikibooks rozdział o przekształceniach liniowych i ich macierzach, czyli o temacie tej strony, następuje zaraz po wyznacznikach.

Sprawdź się

Fiszki do powtórki

Odwróć fiszkę i oceń, czy znasz odpowiedź. Te, których jeszcze nie znasz, wrócą na koniec talii. Dlaczego warto wrócić do nich za kilka dni, przeczytasz w poradniku Powtórki rozłożone w czasie.