Ableitungsregeln und die wichtigsten Ableitungen - Ableitungen von Grund auf

Ableitungen der Grundfunktionen

Alle diese Formeln lassen sich mit der Definition aus der letzten Lektion herleiten. Am besten lernst du sie auswendig.

Funktion $f(x)$	Ableitung $f'(x)$	Hinweis
$c$ (Konstante)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	für $x > 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	für $x > 0$

Ableitungsregeln

Für differenzierbare Funktionen $f$ und $g$ und eine Konstante $c$ gilt:

(c \cdot f)' = c \cdot f' \qquad (f \pm g)' = f' \pm g'

(f \cdot g)' = f' g + f g' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}, \quad g \neq 0

Der Reihe nach sind das die Faktorregel, die Summenregel (mit Minus: Differenzregel), die Produktregel und die Quotientenregel. Ein häufiger Fehler: Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen.

Beispiel 1: ein Polynom

f(x) = 4x^3 - 5x + 2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 12x^2 - 5

Jeder Summand wird einzeln abgeleitet: $(4x^3)' = 12x^2$ , $(-5x)' = -5$ , und die Ableitung der Konstanten $2$ ist $0$ .

Beispiel 2: ein Produkt

f(x) = x^2 \sin x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x

Beispiel 3: ein Quotient

f(x) = \frac{x}{x + 1} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}

für $x \neq -1$ .

Ableitungen der Grundfunktionen