Kettenregel: verkettete Funktionen ableiten - Ableitungen von Grund auf

Die Kettenregel

Eine verkettete Funktion ist eine Funktion in einer Funktion, zum Beispiel $(3x + 1)^5$ : Außen steht eine Potenz, innen steht $3x + 1$ . Ihre Ableitung bildest du so:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

In Worten: äußere Ableitung (das Innere bleibt dabei unverändert) mal innere Ableitung.

Beispiel 1: eine Potenz

Bei $(3x + 1)^5$ ist die äußere Funktion $u^5$ und die innere Funktion $u = 3x + 1$ :

\big((3x + 1)^5\big)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4

Beispiel 2: Sinus

\big(\sin(x^2)\big)' = \cos(x^2) \cdot 2x

Beispiel 3: eine Wurzel

\left(\sqrt{1 + x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

Der häufigste Fehler

Viele vergessen die innere Ableitung. Würdest du in Beispiel 1 die Multiplikation mit $3$ weglassen, käme $5(3x + 1)^4$ heraus - ein Ergebnis, das um den Faktor $3$ zu klein ist. Eine gute Gewohnheit: Sobald du die äußere Ableitung hast, frag dich jedes Mal, was innen steht. Das Multiplizieren mit der inneren Ableitung heißt übrigens auch Nachdifferenzieren.