Was ist eine Ableitung?

Die Idee: Wie schnell ändert sich etwas?

Stell dir ein Auto vor, das bis zum Zeitpunkt $t$ die Strecke $s(t)$ zurückgelegt hat. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten $t$ und $t + h$ ist die gefahrene Strecke geteilt durch die vergangene Zeit:

Je kürzer der Zeitraum $h$, desto näher kommst du an die Geschwindigkeit in einem einzigen Moment heran - also an die, die der Tacho anzeigt. Genau diese Idee steckt hinter der Ableitung, nur eben für jede beliebige Funktion.

Die Definition

Die Ableitung einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ ist der Grenzwert

sofern dieser Grenzwert existiert und endlich ist. Der Bruch hinter dem Limes heißt Differenzenquotient, den Grenzwert selbst nennt man auch Differenzialquotient.

Was das am Graphen bedeutet

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die Punkte $P(x_0 \mid f(x_0))$ und $Q(x_0 + h \mid f(x_0 + h))$. Geht $h$ gegen null, wird aus der Sekante die Tangente. Deshalb gilt:

$f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0$.

Daraus ergibt sich die Tangentengleichung:

Beispiel: die Ableitung von $f(x) = x^2$

Stell den Differenzenquotienten an einer beliebigen Stelle $x$ auf:

Für $h \to 0$ bleibt $2x$ übrig. Also ist $f'(x) = 2x$ - an der Stelle $x = 3$ hat die Tangente an die Parabel zum Beispiel die Steigung $6$. Dieses Rechenverfahren heißt übrigens auch h-Methode.