Pochodna funkcji złożonej - Pochodne od podstaw

Reguła łańcuchowa

Funkcja złożona to funkcja w funkcji, na przykład $(3x + 1)^5$ : na zewnątrz jest potęga, w środku $3x + 1$ . Jej pochodną liczymy tak:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Słownie: pochodna funkcji zewnętrznej (z nietkniętym środkiem) razy pochodna funkcji wewnętrznej.

Przykład 1: potęga

Dla $(3x + 1)^5$ funkcja zewnętrzna to $u^5$ , a wewnętrzna $u = 3x + 1$ :

\big((3x + 1)^5\big)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4

Przykład 2: sinus

\big(\sin(x^2)\big)' = \cos(x^2) \cdot 2x

Przykład 3: pierwiastek

\left(\sqrt{1 + x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

Częsty błąd

Zapomnienie o pochodnej wewnętrznej. Gdyby w przykładzie 1 pominąć mnożenie przez $3$ , wyszłoby $5(3x + 1)^4$ - wynik trzy razy za mały. Dobry nawyk: po policzeniu pochodnej zewnętrznej zawsze zapytaj, co jest w środku.