La regla de la cadena: derivada de una función compuesta

La regla de la cadena

Una función compuesta es una función dentro de otra; por ejemplo, $(3x + 1)^5$ : por fuera hay una potencia y, por dentro, $3x + 1$ . Su derivada se calcula así:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Dicho con palabras: la derivada de la función exterior (dejando el interior tal cual) por la derivada de la función interior.

Ejemplo 1: una potencia

En $(3x + 1)^5$ , la función exterior es $u^5$ y la interior, $u = 3x + 1$ :

\big((3x + 1)^5\big)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4

Ejemplo 2: un seno

\big(\operatorname{sen}(x^2)\big)' = \cos(x^2) \cdot 2x

Ejemplo 3: una raíz cuadrada

\left(\sqrt{1 + x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

Un error frecuente

Olvidar la derivada de la función interior. Si en el ejemplo 1 no multiplicaras por $3$ , te saldría $5(3x + 1)^4$ : un resultado tres veces más pequeño de lo que toca. Un buen hábito: en cuanto derives la función exterior, pregúntate siempre qué hay dentro.