Regra da cadeia: a derivada da função composta

A regra da cadeia

Uma função composta é uma função dentro de outra, como $(3x + 1)^5$ : por fora há uma potência e, por dentro, $3x + 1$ . A derivada dela é calculada assim:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Em palavras: a derivada da função de fora (com o que está dentro intacto) vezes a derivada da função de dentro.

Exemplo 1: uma potência

Em $(3x + 1)^5$ , a função de fora é $u^5$ , e a de dentro é $u = 3x + 1$ :

\big((3x + 1)^5\big)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4

Exemplo 2: seno

\big(\operatorname{sen}(x^2)\big)' = \cos(x^2) \cdot 2x

Exemplo 3: uma raiz quadrada

\left(\sqrt{1 + x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

Um erro comum

Esquecer a derivada da função de dentro. Se você pulasse a multiplicação por $3$ no exemplo 1, chegaria a $5(3x + 1)^4$ - um resultado três vezes menor que o correto. Um bom hábito: depois de derivar a função de fora, sempre se pergunte o que está dentro.