¿Qué es una derivada?

La idea: lo rápido que cambia algo

Imagina un coche que, en el instante $t$, ha recorrido una distancia $s(t)$. Su velocidad media entre el instante $t$ y el instante $t + h$ es la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido:

Cuanto más corto es el intervalo $h$, más te acercas a la velocidad en un instante concreto: la que marca el velocímetro. La derivada es justo esta idea, aplicada a cualquier función.

La definición

La derivada de una función $f$ en un punto $x_0$ es el límite

siempre que ese límite exista y sea finito. La expresión que hay dentro del límite se llama cociente incremental.

Qué significa en la gráfica

El cociente incremental es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(x_0, f(x_0))$ y $(x_0 + h, f(x_0 + h))$. Cuando $h$ tiende a cero, la secante se convierte en la tangente. Por eso:

$f'(x_0)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x_0$.

De aquí sale la ecuación de la recta tangente:

Ejemplo: la derivada de $f(x) = x^2$

Calculamos el cociente incremental en un punto cualquiera $x$:

Cuando $h \to 0$, queda $2x$. Por tanto, $f'(x) = 2x$: por ejemplo, en $x = 3$ la tangente a la parábola tiene pendiente $6$.