Czym jest pochodna - Pochodne od podstaw

Główna idea: tempo zmiany

Wyobraź sobie samochód, który przejechał drogę $s(t)$ w czasie $t$ . Średnia prędkość między chwilą $t$ a chwilą $t + h$ to przebyta droga podzielona przez czas:

v_{\text{śr}} = \frac{s(t + h) - s(t)}{h}

Im krótszy przedział $h$ , tym bliżej jesteśmy prędkości w danej chwili - tej, którą pokazuje prędkościomierz. Pochodna to dokładnie ten pomysł, zastosowany do dowolnej funkcji.

Definicja

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ nazywamy granicę

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h},

o ile ta granica istnieje i jest skończona. Wyrażenie pod granicą to iloraz różnicowy.

Co to znaczy na wykresie

Iloraz różnicowy to współczynnik kierunkowy siecznej przechodzącej przez punkty $(x_0, f(x_0))$ i $(x_0 + h, f(x_0 + h))$ . Gdy $h$ dąży do zera, sieczna przechodzi w styczną. Dlatego:

$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu $f$ w punkcie $x_0$ .

Stąd równanie stycznej:

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Przykład: pochodna funkcji $f(x) = x^2$

Liczymy iloraz różnicowy w dowolnym punkcie $x$ :

\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h

Gdy $h \to 0$ , zostaje $2x$ . Zatem $f'(x) = 2x$ - na przykład w punkcie $x = 3$ styczna do paraboli ma nachylenie $6$ .

Główna idea: tempo zmiany

Definicja

Co to znaczy na wykresie

Przykład: pochodna funkcji f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

Źródła

Przykład: pochodna funkcji $f(x) = x^2$