O que é uma derivada?

A ideia: taxa de variação

Imagine um carro que, até o instante $t$, percorreu a distância $s(t)$. A velocidade média entre os instantes $t$ e $t + h$ é a distância percorrida dividida pelo tempo gasto:

Quanto menor o intervalo $h$, mais perto você chega da velocidade em um único instante - aquela que o velocímetro mostra. A derivada é exatamente essa ideia, aplicada a qualquer função.

A definição

A derivada de uma função $f$ no ponto $x_0$ é o limite

desde que esse limite exista e seja finito. A fração dentro do limite é a taxa média de variação de $f$ entre $x_0$ e $x_0 + h$.

O que isso significa no gráfico

A taxa média de variação é o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos $(x_0, f(x_0))$ e $(x_0 + h, f(x_0 + h))$. Quando $h$ tende a zero, a secante vira a reta tangente. Por isso:

$f'(x_0)$ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $x_0$.

Daí sai a equação da reta tangente:

Exemplo: a derivada de $f(x) = x^2$

Calcule a taxa média de variação em um ponto qualquer $x$:

Quando $h \to 0$, sobra $2x$. Então $f'(x) = 2x$ - no ponto $x = 3$, por exemplo, a reta tangente à parábola tem coeficiente angular $6$.