Contraste de hipótesis y p-valor - explicado paso a paso con una cata a ciegas

La idea: ¿pudo ser suerte?

Lucía dice que distingue por el sabor el agua del grifo del agua embotellada. Para comprobarlo, una amiga llena $20$ vasos y en cada uno pone al azar un agua u otra. Lucía no ve cuál es cuál y, vaso a vaso, dice qué agua está bebiendo. Acierta $15$.

¿Demuestra eso que tiene buen paladar? Todavía no. Alguien que solo adivina acierta cada vaso con probabilidad $\frac{1}{2}$ y también puede tener suerte. Así que la pregunta es: si Lucía solo estuviera adivinando, ¿hasta qué punto serían sorprendentes $15$ aciertos?

En esa pregunta se basa todo contraste de hipótesis:

• suponemos que no pasa nada especial: es la hipótesis nula $H_0$ (aquí, Lucía adivina),
• calculamos qué probabilidad tendría, bajo esa suposición, un resultado al menos tan extremo como el observado: es el p-valor,
• si esa probabilidad es muy pequeña, cuesta seguir creyendo la suposición, y la rechazamos.

Un p-valor pequeño no dice que Lucía distinga las aguas con total seguridad. Dice que adivinando rara vez se obtendría un resultado así. El estadístico Ronald Fisher explicó esta idea con una historia parecida: la de una dama que aseguraba notar por el sabor si en la taza se había echado primero el té o la leche.

¿Adivina o lo nota? El contraste paso a paso

Recorre la animación paso a paso con los botones o con las flechas del teclado. Primero verás los $20$ vasos de Lucía y después los resultados de $1000$ personas que solo adivinan y hacen la misma cata (es una simulación por ordenador).

El contraste puede equivocarse de dos maneras. Si Lucía adivina, aun así cae en la región crítica con probabilidad $0{,}021$: entonces rechazaríamos una $H_0$ cierta, un error de tipo I. Si de verdad distingue las aguas, puede acertar menos de $15$ igualmente: un error de tipo II. Con el mismo α, una cata más larga, con más vasos, hace menos probable este segundo error.

Pruébalo tú: vasos, aciertos y α

Con los deslizadores eliges el número de vasos $n$ y el número de aciertos $k$. Las barras muestran lo probable que es cada resultado para alguien que adivina, y las barras rellenas suman el p-valor $P(X \ge k)$. Elige α para ver la región crítica y la decisión. Después pon a prueba a unos cientos de personas que adivinan y compara la proporción de las que aciertan $k$ o más con el p-valor.

En qué fijarte:

• con $n = 20$, $k = 15$ da $p = 0{,}021$, pero $k = 14$ ya da $p = 0{,}058$, más de $0{,}05$,
• la misma proporción de aciertos pesa más en una cata más larga: $6$ de $8$ vasos da $p = 0{,}145$, $15$ de $20$ da $p = 0{,}021$ y $30$ de $40$ da $p = 0{,}001$,
• un α más pequeño reduce la región crítica: con $n = 20$ y $\alpha = 0{,}01$ es $X \ge 16$, así que $15$ aciertos ya no bastarían,
• con solo $5$ vasos y $\alpha = 0{,}01$ no hay región crítica: incluso $5$ de $5$ da $p = 0{,}031$,
• cuantas más personas pongas a prueba, más se acerca al p-valor la proporción de las que aciertan $k$ o más.

Definición

Hipótesis. Un contraste de hipótesis enfrenta dos afirmaciones. La hipótesis nula $H_0$ es la afirmación de la que partimos: normalmente «no hay efecto» o un valor concreto, como $p = 0{,}5$ o $\mu = 1000$ g. La hipótesis alternativa $H_1$ es lo que sospechamos en su lugar, por ejemplo $p > 0{,}5$, $\mu < 1000$ g o $\mu \ne 500$ ml.

Estadístico de contraste. Un número calculado con la muestra, como el número de aciertos $X$. Necesitamos saber cómo se distribuye cuando $H_0$ es cierta. Si cada uno de $n$ ensayos independientes es un éxito con probabilidad $p_0$, el número de éxitos sigue una distribución binomial:

p-valor. La probabilidad, suponiendo que $H_0$ es cierta, de que el estadístico de contraste tome un valor al menos tan extremo como el observado, en la dirección que marca $H_1$. Para $H_1: p > p_0$ y $k$ éxitos es

Nivel de significación y decisión. Antes de mirar los datos fijamos el nivel de significación $\alpha$. Lo habitual es $0{,}05$; también se usan $0{,}01$ y $0{,}10$. Después:

• si $p \le \alpha$, se rechaza $H_0$ en favor de $H_1$: el resultado es estadísticamente significativo,
• si $p > \alpha$, no hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$. Eso no demuestra que $H_0$ sea cierta: los datos simplemente no aportan pruebas lo bastante fuertes en su contra.

Región crítica. Los valores del estadístico para los que se rechaza $H_0$. En la cata con $n = 20$ y $\alpha = 0{,}05$ es $X \ge 15$, porque $P(X \ge 15) = 0{,}021 \le 0{,}05$ pero $P(X \ge 14) = 0{,}058 > 0{,}05$. Rechazar $H_0$ equivale a que el estadístico caiga en la región crítica.

Dos tipos de error.

• Un error de tipo I es rechazar $H_0$ cuando es cierta. Su probabilidad es como mucho $\alpha$; en la cata es $P(X \ge 15) = 0{,}021$.
• Un error de tipo II es no rechazar $H_0$ cuando es falsa. Su probabilidad se escribe $\beta$, y $1 - \beta$ es la potencia del contraste: en la animación, $0{,}804$ para alguien que acierta $4$ de cada $5$ vasos.

Contrastes unilaterales y bilaterales. Con $H_1: p > p_0$ o $H_1: \mu < \mu_0$ el contraste es unilateral: solo cuentan como extremos los resultados alejados hacia un lado. Con $H_1: \mu \ne \mu_0$ es bilateral: cuentan los alejados hacia cualquiera de los dos lados. Si el estadístico tiene una distribución simétrica, como $z$, el p-valor bilateral es el doble del área de una cola.

Contraste para la media (contraste z). Cuando conocemos la desviación típica $\sigma$, la media $\bar{x}$ de una muestra de tamaño $n$ se compara con $\mu_0$ mediante

El denominador $\sigma/\sqrt{n}$ es el error típico de la media: las medias muestrales varían menos que los valores sueltos. Si $H_0$ es cierta y la variable sigue una distribución normal, $z$ sigue la normal estándar $N(0, 1)$, así que el p-valor sale de la tabla de $\Phi(z) = P(Z < z)$. Si $\sigma$ es desconocida y se estima con la muestra, se usa la t de Student.

Así, con $\alpha = 0{,}05$, un contraste unilateral rechaza $H_0$ cuando $z \ge 1{,}645$ (o $z \le -1{,}645$ si $H_1: \mu < \mu_0$), y uno bilateral cuando $z \ge 1{,}96$ o $z \le -1{,}96$. Con $\alpha = 0{,}01$ los umbrales son $2{,}326$ y $2{,}576$.

Ejemplo 1: un perro y dos cajas

Un perro aprende a encontrar una golosina por el olfato. En cada uno de $10$ intentos se esconde la golosina al azar en una de dos cajas, y el perro elige la caja correcta $9$ veces. Contrasta, con un nivel de significación de $0{,}05$, si el perro acierta más de lo que explicaría el azar.

Ejemplo 2: ¿la máquina llena poco los paquetes?

Una máquina debería llenar paquetes de harina con una media de $1000$ g, y la desviación típica de su masa es $\sigma = 5$ g. Una inspectora pesa $25$ paquetes y obtiene una media de $\bar{x} = 998$ g. Contrasta, con un nivel de significación de $0{,}05$, si la máquina llena de media menos de lo debido. ¿Sería igual la decisión con $0{,}01$?

Ahora tú

Unas botellas de zumo indican $500$ ml en la etiqueta, y la máquina que las llena tiene una desviación típica de $\sigma = 6$ ml. Una muestra de $36$ botellas da una media de $\bar{x} = 501{,}8$ ml. Contrasta, con un nivel de significación de $0{,}05$, si la media es distinta de $500$ ml, en cualquiera de los dos sentidos.

Errores frecuentes

• «El p-valor es la probabilidad de que H₀ sea cierta». No: el p-valor se calcula suponiendo que $H_0$ es cierta. Indica lo sorprendentes que serían los datos si $H_0$ fuera cierta, no lo probable que es $H_0$. Un p-valor de $0{,}021$ no significa que haya un 2,1 % de probabilidad de que Lucía esté adivinando.
• «p > α demuestra H₀». No rechazar no es lo mismo que demostrar. Con $13$ aciertos de $20$ ($p = 0{,}132$) Lucía podría tener una habilidad real, aunque menor: una cata de $20$ vasos es demasiado corta para detectarla.
• Olvidar el «al menos tan extremo». El p-valor es una cola entera, no un único resultado. Con $14$ aciertos de $20$, $P(X = 14) = 0{,}037$ parece menor que $0{,}05$, pero el p-valor $P(X \ge 14) = 0{,}058$ es mayor.
• Elegir α o el tipo de contraste después de ver los datos. Ambos se fijan antes del contraste. Elegirlos después, o probar un análisis tras otro hasta que alguno dé $p \le 0{,}05$, hace más probable una falsa alarma.
• «Significativo» quiere decir «importante». Un resultado significativo sería poco probable si $H_0$ fuera cierta, pero el efecto puede ser minúsculo: con una muestra lo bastante grande, incluso una diferencia muy pequeña da un p-valor pequeño. El tamaño del efecto es otra cuestión.

En Bachillerato, en la PAU y en la universidad

El contraste de hipótesis no figura en los saberes básicos de Matemáticas del Bachillerato que fija el Real Decreto 243/2022. En Matemáticas II, el bloque «Sentido estocástico» llega hasta la probabilidad condicionada, los teoremas de la probabilidad total y de Bayes y las distribuciones binomial y normal. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II tiene además un apartado de inferencia, pero se queda en el muestreo, la estimación de la media y la proporción y los intervalos de confianza basados en la normal. Las directrices de la PAU de Andalucía para esa asignatura (curso 2026-2027) recogen los mismos contenidos de inferencia, sin contrastes.

Aun así, lo que aprendes en Bachillerato te basta para lo que hay en esta página: con la binomial calculas el p-valor de la cata, y con la tabla de la normal, los de los ejemplos con medias.

En la universidad, el contraste de hipótesis se estudia en los cursos de estadística. Por ejemplo, en el libro abierto de Maurice A. Geraghty «Estadística inferencial y probabilidad», el capítulo de pruebas de hipótesis de una población llega justo después del de estimación e intervalos de confianza.

Ponte a prueba

Tarjetas para repasar

Dale la vuelta a cada tarjeta y di si te sabías la respuesta. Las que todavía no te sabes vuelven al final del montón. Por qué conviene repasarlas dentro de unos días te lo contamos en la guía Repetición espaciada.