¿Qué es la derivada? Explicación paso a paso

La idea: lo rápido que cambia algo

Una función describe cómo depende una magnitud de otra: la distancia recorrida, del tiempo; la temperatura, de la hora del día; el coste, del número de unidades fabricadas. Saber cuánto cambia de media en un intervalo es fácil: divides la variación de $y$ entre la variación de $x$. Es la tasa de variación media.

Lo difícil es saber a qué ritmo cambia en un único punto. En un solo instante el coche no recorre ninguna distancia, así que la fórmula «distancia entre tiempo» da $\frac{0}{0}$. La derivada esquiva el problema con un truco: calcula la tasa media en intervalos cada vez más cortos y se fija en a qué número se va acercando.

La misma idea aparece por todas partes:

• la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, y la aceleración, la derivada de la velocidad;
• la rapidez con la que algo se calienta es la derivada de su temperatura respecto al tiempo;
• en economía, el coste marginal indica cuánto aumenta el coste al fabricar una unidad más.

De la secante a la tangente

En una gráfica, la tasa de variación media es la pendiente de una recta secante, es decir, una recta que pasa por dos puntos de la gráfica. Puedes avanzar por la animación paso a paso con los botones o con las flechas del teclado.

Fíjate en que nunca hemos puesto $h = 0$: saldría $\frac{0}{0}$. Solo miramos a qué valor se acerca la pendiente de la secante. Eso es, precisamente, un límite.

Pruébalo tú: la derivada en cada punto

La derivada no es un único número. En cada punto de la gráfica la tangente tiene una pendiente distinta. Mueve el punto $x_0$ y observa la tangente. Cada posición deja un punto en la gráfica de abajo, a la altura de la pendiente de la tangente. Antes de mostrar la gráfica completa de $f'$, intenta adivinar qué forma tiene.

En qué fijarte:

• con $f(x) = x^2$, los puntos forman la recta $y = 2x$, que es la gráfica de la derivada;
• donde la función crece, la derivada es positiva, y donde decrece, es negativa;
• en lo alto de una cima o en el fondo de un valle la tangente es horizontal, así que la derivada vale cero; en $x^3 - 3x$ ocurre en $x = -1$ y en $x = 1$;
• la gráfica de la derivada de $\operatorname{sen} x$ es la gráfica de $\cos x$.

Definición

La derivada de una función $f$ en un punto $x_0$ es el límite

siempre que ese límite exista y sea finito. La fracción de dentro del límite es el cociente incremental: la pendiente de la secante de la animación. Si calculamos la derivada en cada punto, obtenemos una nueva función, la función derivada $f'(x)$, que a cada $x$ le asigna la pendiente de la tangente.

La tangente a la gráfica en el punto $(x_0, f(x_0))$ tiene pendiente $f'(x_0)$, así que su ecuación es

En muchos libros la verás escrita como $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$, que es lo mismo.

Ejemplo 1: la derivada de x² por la definición

Calculamos el cociente incremental en un punto cualquiera $x$ y solo al final hacemos que $h$ tienda a cero:

Por tanto, $(x^2)' = 2x$. En $x = 1$ da $2$, justo lo que mostraba la animación.

Ejemplo 2: la tangente a x³ en x = 2

La tangente a $y = x^3$ en el punto $(2, 8)$ tiene pendiente $12$, y su ecuación es $y = 12(x - 2) + 8$, es decir, $y = 12x - 16$.

Ahora tú

Calcula por la definición la derivada de $f(x) = 3x^2 - 2x$ en $x_0 = 1$.

Errores frecuentes

• Sustituir $h = 0$ desde el principio. Sale $\frac{0}{0}$, que no es un número. Primero simplifica el cociente (quitando la $h$ del denominador) y solo después mira a qué tiende.
• Confundir $f'(x_0)$ con $f'(x)$. $f'(1) = 2$ es un número: la pendiente en un punto. $f'(x) = 2x$ es una función: la pendiente en cada punto.
• «La tangente solo toca la gráfica en un punto». No siempre. La tangente a $y = x^3$ en $(1, 1)$ es $y = 3x - 2$, y vuelve a cortar la gráfica en $(-2, -8)$. La tangente habla de la dirección de la gráfica en un sitio concreto, no de cuántos puntos tienen en común.
• «Toda función tiene derivada en todos sus puntos». La gráfica de $|x|$ tiene un pico (un punto anguloso) en el cero: las secantes por la derecha tienen pendiente $1$, y por la izquierda, $-1$. No hay límite, así que en el cero no hay derivada.

En la PAU y en la universidad

En España, la derivada aparece en 1.º de Bachillerato (Matemáticas I), donde se define a partir del estudio del cambio. En 2.º, en Matemáticas II, se usa para calcular límites, estudiar y representar funciones y resolver problemas de optimización. Así lo fija el Real Decreto 243/2022, que establece las enseñanzas mínimas del Bachillerato.

Matemáticas II forma parte de la prueba de acceso a la universidad (PAU), la «Selectividad» de toda la vida, que hasta 2024 tenía otros nombres según la comunidad, como EBAU o EvAU. En la modalidad de Ciencias y Tecnología, cada estudiante elige examinarse de Matemáticas II o de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, y cada ejercicio dura noventa minutos (Real Decreto 534/2024).

Cada comunidad autónoma organiza su prueba junto con sus universidades. En Andalucía, por ejemplo, las directrices de Matemáticas II para el curso 2026-2027 incluyen la regla de la cadena, la relación entre continuidad y derivabilidad en un punto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, la recta tangente, los extremos relativos y absolutos y los problemas de optimización. De los cinco ejercicios que responde cada estudiante, dos son de Análisis (directrices de la PAU).

En la universidad, la derivada vuelve en las primeras asignaturas de cálculo de grados como los de ingeniería. En el libro abierto Cálculo activo, por ejemplo, después de las reglas de derivación vienen la regla de L’Hôpital para calcular límites y el uso de la derivada para encontrar valores extremos y resolver problemas de optimización.

Ponte a prueba

Tarjetas para repasar

Dale la vuelta a cada tarjeta y di si te sabías la respuesta. Las que todavía no te sabes vuelven al final del montón. Por qué conviene repasarlas otra vez dentro de unos días te lo contamos en la guía Repetición espaciada.