Distribución normal y desviación típica - la campana de Gauss, paso a paso

La idea: la mayoría de los valores está cerca de la media

Una máquina está ajustada para llenar paquetes de $1000$ g de harina. Si pesas mil de sus paquetes, no todos pesarán exactamente $1000$ g. La mayoría se quedará cerca, algunos se alejarán un poco más y muy pocos se alejarán mucho. Dibujadas en un histograma, las masas forman una joroba más o menos simétrica: una campana.

La distribución normal es el modelo matemático de esa campana. Queda determinada por solo dos números:

• la media $\mu$ (la letra griega mu), que indica dónde está el centro de la campana,
• la desviación típica $\sigma$ (sigma), que mide cuánto se suelen separar los valores de la media. Con una $\sigma$ pequeña la campana es estrecha y alta, y con una $\sigma$ grande, ancha y baja.

La proporción de valores que caen en un intervalo es el área bajo la curva sobre ese intervalo. El área total bajo la curva es $1$, es decir, el 100 %.

¿Por qué aparece la campana tan a menudo? A grandes rasgos, la suma de muchos efectos aleatorios pequeños e independientes sigue aproximadamente una distribución normal: es el teorema central del límite. A la distribución normal también se la llama distribución de Gauss, y a su gráfica, campana de Gauss. El nombre viene del matemático Carl Friedrich Gauss.

Del histograma a la campana de Gauss

Recorre la animación paso a paso con los botones o con las flechas del teclado. Las barras muestran las masas de $1000$ paquetes de harina (simulados por ordenador), y la curva de color es la distribución normal que los modela.

La curva no se ajusta exactamente a cada barra. Es un modelo: describe la tendencia general, no cada paquete por separado. Cuantos más paquetes pesamos, más se parece el histograma a la curva; compruébalo en el laboratorio de abajo.

Pruébalo tú: μ, σ y el área bajo la curva

Con los deslizadores eliges la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$ de la máquina, y un intervalo de $a$ a $b$. El área sombreada es la probabilidad de que la masa de un paquete caiga en ese intervalo. Después, pesa unos cientos de paquetes y compara la proporción que cae en el intervalo con el área.

Algunas cosas que puedes comprobar:

• al cambiar $\mu$, la curva solo se desplaza: su forma no cambia,
• con una $\sigma$ mayor, la curva es más ancha y más baja, porque el área bajo ella siempre es $1$,
• si colocas $a$ y $b$ a una $\sigma$ de $\mu$, uno a cada lado (por ejemplo, $\mu = 1000$, $\sigma = 4$, $a = 996$ y $b = 1004$), el área es del 68,3 %, sean cuales sean $\mu$ y $\sigma$,
• el área solo depende de los valores tipificados de $a$ y $b$, es decir, de sus valores de $z$,
• cuantos más paquetes pesas, más se acerca al área la proporción de los que quedan entre $a$ y $b$.

Definición

La media y la desviación típica de unos datos. Para los datos $x_1, x_2, \ldots, x_n$, la media es

La varianza es la media de los cuadrados de las distancias a la media, y la desviación típica (también llamada desviación estándar) es su raíz cuadrada:

Elevamos al cuadrado las diferencias $x_i - \bar{x}$ para que las negativas, las de los valores menores que la media, no se anulen con las positivas. La raíz cuadrada devuelve el resultado a las unidades de los datos, por ejemplo, a gramos. En estadística, la desviación típica de una muestra se calcula a menudo con $n - 1$ en lugar de $n$ en el denominador; con muestras grandes, la diferencia es pequeña.

La distribución normal. Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, que aquí escribimos $N(\mu, \sigma)$, si sus probabilidades son áreas bajo la campana

La curva es simétrica respecto de la recta $x = \mu$ y alcanza ahí su máximo. Sus puntos de inflexión, donde la gráfica cambia de curvatura, están en $\mu - \sigma$ y en $\mu + \sigma$. El área total bajo ella es $1$. La probabilidad de que $X$ tome un valor entre $a$ y $b$ es el área bajo la curva de $a$ a $b$. Un valor concreto tiene probabilidad $0$, así que $P(a < X < b)$ y $P(a \le X \le b)$ coinciden.

La regla 68-95-99,7. En toda distribución normal:

• alrededor del 68,27 % de los valores está a menos de una $\sigma$ de la media, entre $\mu - \sigma$ y $\mu + \sigma$,
• alrededor del 95,45 % está a menos de $2\sigma$,
• alrededor del 99,73 % está a menos de $3\sigma$.

La tipificación. El valor tipificado $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ indica a cuántas desviaciones típicas de la media está $x$. Si $X$ sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$, la variable tipificada $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ sigue la distribución normal estándar $N(0, 1)$. Los valores de su función de distribución, $\Phi(z) = P(Z < z)$, vienen en tablas y se obtienen con la calculadora:

Muchas tablas solo recogen valores $z \ge 0$. Para un valor negativo de $z$, se usa la simetría de la curva:

Para un intervalo de $a$ a $b$, si $z_a$ y $z_b$ son los valores tipificados de sus extremos:

Ejemplo 1: la desviación típica de cinco números

Cinco estudiantes cronometraron cuánto tardaban en resolver un rompecabezas. Sus tiempos, en minutos, fueron $4$, $6$, $7$, $8$ y $10$. Halla la media y la desviación típica de esos tiempos.

Ejemplo 2: la proporción de paquetes ligeros

La masa de un paquete de harina sigue una distribución normal de media $\mu = 1000$ g y desviación típica $\sigma = 5$ g. ¿Qué proporción de los paquetes pesa menos de $992$ g?

Ahora tú

En un invernadero, la altura de las plantas jóvenes de tomate sigue una distribución normal de media $60$ cm y desviación típica $12$ cm. ¿Qué proporción de las plantas mide entre $54$ cm y $78$ cm?

Errores frecuentes

• Buscar $x$ en la tabla en lugar de $z$. La tabla es la de la normal estándar, así que antes hay que tipificar. Para $992$ g, con $\mu = 1000$ g y $\sigma = 5$ g, se trabaja con $z = -1{,}6$, no con $992$.
• Olvidar el «1 −». $\Phi(z)$ es el área a la izquierda de $z$. Si te preguntan por «más de», necesitas el área a la derecha: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$. Por ejemplo, $P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.
• Confundir $\sigma$ con $\sigma^2$. Unos textos escriben $N(\mu, \sigma)$, como esta página, y otros, como la Wikipedia, $N(\mu, \sigma^2)$, con la varianza. En $N(10, 16)$, escrita de esta segunda forma, la desviación típica es $\sqrt{16} = 4$, no $16$. Fíjate en cómo lo escribe tu libro.
• Aplicar la regla 68-95-99,7 a cualquier conjunto de datos. La regla vale para las distribuciones normales. Con otras formas, las proporciones cambian: en una distribución uniforme, en la que todos los valores de un intervalo son igual de probables, solo alrededor del 58 % de los valores está a menos de una $\sigma$ de la media.
• «Con una σ mayor, la curva es más alta». Es al revés. El área bajo la curva siempre es $1$, así que una curva más ancha tiene que ser más baja: la altura de su máximo es $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$.

En Bachillerato, en la PAU y en la universidad

En España, la distribución normal se estudia en Bachillerato. Las enseñanzas mínimas (Real Decreto 243/2022) la incluyen, junto con la binomial, en el bloque «Sentido estocástico» de Matemáticas II, de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I y II y de Matemáticas Generales, la materia obligatoria de primero en la modalidad General. En Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I se añade la aproximación de la binomial por la normal. En la II se estiman la media, la proporción y la desviación típica de una población, y la normal sirve para aproximar la distribución de la media y de la proporción muestrales y para construir intervalos de confianza. Las medidas de dispersión no son nuevas a estas alturas: en la ESO ya se calculan e interpretan.

En la PAU de Andalucía, por ejemplo, la normal entra en los dos exámenes de matemáticas. En Matemáticas II, uno de los cinco ejercicios que se responden es de Estadística y Probabilidad, y en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, dos de los cuatro tratan de probabilidad, distribuciones e inferencia. En los dos exámenes se entrega la tabla de la distribución normal. La que publican las directrices de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II es la de la $N(0, 1)$ y da $P(Z \le z)$ para $z \ge 0$, así que antes de usarla hay que tipificar. En Matemáticas II, en los problemas de Estadística y Probabilidad se trabaja con cuatro cifras decimales. Los dos exámenes incluyen también la aproximación de la binomial por la normal; en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, solo se puede usar si se comprueba que $np \ge 5$ y $n(1 - p) \ge 5$.

En la universidad, la normal reaparece en los cursos introductorios de estadística. En el libro abierto de Maurice Geraghty sobre estadística inferencial y probabilidad, traducido al español en LibreTexts, ocupa el capítulo de variables aleatorias continuas. Llega después de la estadística descriptiva, la probabilidad y las variables aleatorias discretas, y justo antes del teorema central del límite; a continuación vienen los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis.

Ponte a prueba

Tarjetas para repasar

Dale la vuelta a cada tarjeta y di si te sabías la respuesta. Las que todavía no te sabes vuelven al final del montón. Por qué conviene repasarlas dentro de unos días te lo contamos en la guía Repetición espaciada.