¿Qué es la integral definida? El área bajo una curva, paso a paso

La idea: sumar muchos trozos pequeños

El área de un rectángulo es la base por la altura. El problema llega cuando el borde de arriba de la región es curvo. La idea de la integral es sencilla: cortar la región en franjas estrechas. Cada franja es casi un rectángulo, así que su área es fácil de calcular. La suma de las áreas de todas las franjas da una aproximación del área total, y cuanto más estrechas sean, mejor.

Muchas cosas del día a día se calculan igual:

• la distancia recorrida es el área bajo la gráfica de la velocidad: si la velocidad cambia, sumas muchos intervalos cortos de tiempo multiplicados por la velocidad en cada uno,
• la energía que consume un aparato es el área bajo la gráfica de su potencia,
• lo que ingresa una tienda en todo el día es la suma de lo que ingresa en cada minuto.

De los rectángulos a la integral

Puedes avanzar por la animación paso a paso con los botones o con las flechas del teclado.

Con franjas muy estrechas da igual tomar la altura del extremo izquierdo, del derecho o del punto medio: las sumas se acercan al mismo número.

Pruébalo tú: rectángulos bajo cualquier gráfica

Elige una función y un intervalo, cambia el número de rectángulos y la forma de elegir su altura, y compara la suma con la integral. En $\operatorname{sen} x$ y en $x^3 - 3x$ parte de la gráfica queda por debajo del eje $x$: ahí los rectángulos cuentan en negativo.

Fíjate en esto:

• cuantos más rectángulos, menor es la diferencia entre la suma y la integral,
• los rectángulos con la altura del punto medio de cada franja suelen acertar mucho más que los de los extremos: con pocos rectángulos la diferencia ya es pequeña,
• cuando parte de la gráfica está por encima del eje y parte por debajo, la integral puede salir casi cero aunque la región no sea nada pequeña.

Definición

Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ franjas de anchura $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ y en cada una elegimos un punto $x_i$. La integral definida es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos:

El símbolo $\int$ es una S alargada, de «suma» (así lo propuso Leibniz), y el $dx$ recuerda la anchura de las franjas.

Calcular cada vez el límite de una suma sería agotador. Por suerte hay un atajo: el teorema fundamental del cálculo, que en la práctica se usa en forma de regla de Barrow. Si $F$ es una primitiva de $f$, es decir, $F'(x) = f(x)$, entonces

¿Por qué funciona? La derivada $f = F'$ indica lo deprisa que crece $F$. En una franja estrecha, $F$ crece más o menos $f(x_i)\,\Delta x$, que es justo el área del rectángulo. Si sumas todos esos aumentos desde $a$ hasta $b$, obtienes lo que ha crecido $F$ en total, es decir, $F(b) - F(a)$. Integrar y derivar son operaciones inversas.

Ejemplo 1: el área bajo una parábola

Una primitiva de $x^2$ es $\frac{x^3}{3}$, porque $\left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2$. Por tanto,

Es justo el número al que se acercaban los rectángulos. Y el área de la pregunta del principio es $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$.

Ejemplo 2: el área bajo la curva del seno

Una primitiva de $\operatorname{sen} x$ es $-\cos x$, porque $(-\cos x)' = \operatorname{sen} x$. Por tanto,

Ahora tú

Calcula $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$ y después comprueba el resultado con geometría: ¿qué figura forma la región que queda bajo esta gráfica?

Errores frecuentes

• El área por debajo del eje $x$. La integral la cuenta en negativo. $\int_0^{2\pi} \operatorname{sen} x\,dx = 0$, aunque la gráfica y el eje encierran una región de área $4$. Para obtener el área, integra por separado los trozos que quedan por encima y por debajo del eje y suma sus valores absolutos.
• El orden al revés. Es $F(b) - F(a)$, no $F(a) - F(b)$. Si los cambias de orden, el resultado cambia de signo.
• La constante $C$. En la integral indefinida se escribe $+\,C$, porque hay infinitas primitivas. En la integral definida, la $C$ se cancela: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.
• Confundir la integral definida con la indefinida. La definida, con límites $a$ y $b$, es un número. La indefinida es una familia de funciones, $F(x) + C$.

En Bachillerato y en la universidad

En España, la integral definida forma parte del temario de 2.º de Bachillerato. Según el currículo estatal, Matemáticas II incluye la interpretación de la integral definida como el área bajo una curva, técnicas elementales para calcular primitivas y el cálculo de superficies planas y volúmenes de revolución. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II también incluye la integral definida y su aplicación al cálculo de áreas (Real Decreto 243/2022).

También entra en la PAU, la prueba de acceso a la universidad. Por ejemplo, las directrices de Andalucía para Matemáticas II del curso 2026-2027 incluyen, dentro del sentido de la medida, la integral definida como área bajo una curva, las primitivas, la regla de Barrow y el cálculo de áreas mediante integrales definidas. Cada estudiante responde a cinco ejercicios de 2 puntos, y dos de ellos son de Análisis. La calculadora no puede ser programable ni gráfica, y todo el proceso que lleva al resultado tiene que estar justificado (directrices de la PAU).

En la universidad, la integral vuelve a aparecer en las primeras asignaturas de cálculo de grados como los de ingeniería. Allí se estudian también técnicas para hallar primitivas, como la integración por partes y el cambio de variable. En el libro abierto Cálculo activo, por ejemplo, la integral sirve para calcular áreas entre curvas, longitudes de curvas y volúmenes de sólidos de revolución. El libro también explica las integrales impropias y cómo aproximar una integral con la regla del trapecio o la de Simpson. En física, la integral da el desplazamiento a partir de la velocidad y el trabajo a partir de la fuerza.

Ponte a prueba

Tarjetas para repasar

Dale la vuelta a cada tarjeta y di si te sabías la respuesta. Las que todavía no te sepas vuelven al final del mazo. Por qué conviene repasarlas dentro de unos días te lo contamos en la guía Repetición espaciada.