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DE - Sprache: Deutsch
MathematikOberstufeLeicht

Ableitung aus der Definition (h-Methode)

Bestimme mithilfe der Definition der Ableitung f′(x)f'(x) für die Funktion

f(x)=3x2−x.f(x) = 3x^2 - x.
Hinweisanzeigen

Stell den Differenzenquotienten f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} auf, löse (x+h)2(x + h)^2 mit der binomischen Formel auf und vereinfache den Term, bevor du den Grenzwert bildest.

Lösungversuch es zuerst selbst

Schritt 1. Definition der Ableitung aufschreiben

Wir gehen von der Definition der Ableitung aus (h-Methode):

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Wir brauchen also zwei Terme: f(x+h)f(x + h) und f(x)f(x).

Schritt 2. f(x + h) berechnen

Unsere Funktion lautet:

f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x

Wir ersetzen xx überall durch x+hx + h:

f(x+h)=3(x+h)2−(x+h)f(x + h) = 3(x + h)^2 - (x + h)

Wir lösen das Quadrat mit der ersten binomischen Formel auf:

(x+h)2=x2+2xh+h2(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Damit gilt:

f(x+h)=3(x2+2xh+h2)−x−h\begin{aligned} f(x + h) &= 3(x^2 + 2xh + h^2) \\ &\quad - x - h \end{aligned}

Wir multiplizieren die Klammer mit 3 aus:

f(x+h)=3x2+6xh+3h2−x−h\boxed{ \begin{aligned} f(x + h) &= 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ &\quad - x - h \end{aligned} }

Schritt 3. Differenz f(x + h) − f(x) bilden

Wir ziehen den ganzen Term f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x ab, deshalb setzen wir ihn in Klammern:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−(3x2−x)\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - (3x^2 - x) \end{aligned}

Wir lösen die Klammer auf - das Minus davor dreht das Vorzeichen beider Terme um:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−3x2+x\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - 3x^2 + x \end{aligned}

Wir fassen gleichartige Terme zusammen: 3x2−3x2=03x^2 - 3x^2 = 0 und −x+x=0-x + x = 0:

f(x+h)−f(x)=6xh+3h2−h\boxed{ \begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 6xh + 3h^2 - h \end{aligned} }

Schritt 4. Durch h teilen

Wir setzen die Differenz in den Differenzenquotienten ein:

f(x+h)−f(x)h=6xh+3h2−hh\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{6xh + 3h^2 - h}{h}

Wir klammern im Zähler hh aus:

f(x+h)−f(x)h=h(6x+3h−1)h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{h(6x + 3h - 1)}{h}

Für h≠0h \neq 0 dürfen wir hh kürzen:

f(x+h)−f(x)h=6x+3h−1\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 6x + 3h - 1

Schritt 5. Grenzwert für h → 0 bilden

Wir haben:

f′(x)=lim⁡h→0(6x+3h−1)f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 1)

Im Nenner steht kein hh mehr, also dürfen wir h=0h = 0 einsetzen:

f′(x)=6x+3⋅0−1=6x−1f'(x) = 6x + 3 \cdot 0 - 1 = 6x - 1

Antwort

f′(x)=6x−1\boxed{f'(x) = 6x - 1}

Die Ableitung von f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x ist f′(x)=6x−1f'(x) = 6x - 1. Mit der Potenz- und der Faktorregel kommst du auf dasselbe: (3x2)′=3⋅2x=6x(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x und (−x)′=−1(-x)' = -1.

Die Theorie zu dieser AufgabeKurs: Ableitungen von Grund auf

Quellen

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  1. Serlo - h-Methode (Differenzenquotient mit h, binomische Formel auflösen, Grenzwert für h gegen 0) · CC BY-SA 4.0
  2. Serlo - Ableitung (Definition der Ableitung als Grenzwert) · CC BY-SA 4.0
  3. Serlo - Ableiten von Potenzfunktionen (Potenzregel: mit n multiplizieren, Exponent um eins verringern) · CC BY-SA 4.0
  4. ZUM-Unterrichten - Einführung in die Differentialrechnung: Die h-Schreibweise (Ableitung mit dem Grenzwert für h gegen 0, Beispiel f(x) = 3x² + 1) · CC BY-SA 4.0
  5. Wikibooks - Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit (Definition der Ableitung über die h-Methode) · CC BY-SA 4.0
  6. TU Braunschweig - Michael Herrmann, Skript Analysis für Elektrotechnik (2024), Kap. 5.1 (Ableitung als Grenzwert für h gegen 0, Ableitung von Polynomen) · CC BY-SA 4.0

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