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DE - Sprache: Deutsch
MathematikOberstufeMittel

Tangentengleichung aufstellen

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x

an der Stelle x0=1x_0 = 1.

Hinweisanzeigen

Die Tangente an der Stelle x0x_0 hat die Gleichung y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). Du brauchst also zwei Zahlen: f(1)f(1) und f′(1)f'(1).

Lösungversuch es zuerst selbst

Schritt 1. Tangentengleichung aufschreiben

Die Tangente an den Graphen von ff an der Stelle x0x_0 hat die Gleichung:

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Mit x0=1x_0 = 1 wird daraus:

y=f′(1)(x−1)+f(1)y = f'(1)(x - 1) + f(1)

Wir brauchen also zwei Zahlen: f(1)f(1) und f′(1)f'(1).

Schritt 2. f(1) berechnen

Wir setzen x=1x = 1 in den Funktionsterm ein:

f(1)=13−2⋅1f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1
f(1)=1−2f(1) = 1 - 2
f(1)=−1\boxed{f(1) = -1}

Der Berührpunkt ist also P(1∣−1)P(1 \mid -1).

Schritt 3. Ableitung f′(x) bestimmen

Wir leiten jeden Term einzeln ab (Summenregel - bei einer Differenz gilt sie genauso):

(x3)′=3x2,(2x)′=2(x^3)' = 3x^2, \qquad (2x)' = 2

Also:

f′(x)=3x2−2\boxed{f'(x) = 3x^2 - 2}

Schritt 4. f′(1) berechnen

Wir setzen x=1x = 1 in die Ableitung ein:

f′(1)=3⋅12−2f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2
f′(1)=3−2f'(1) = 3 - 2
f′(1)=1\boxed{f'(1) = 1}

Das ist die Steigung der Tangente: Gehst du eine Einheit nach rechts, steigt sie um eine Einheit.

Schritt 5. In die Tangentengleichung einsetzen

Wir haben f(1)=−1f(1) = -1 und f′(1)=1f'(1) = 1:

y=1⋅(x−1)+(−1)y = 1 \cdot (x - 1) + (-1)

Wir multiplizieren die Klammer mit 1 und lösen sie auf:

y=x−1−1y = x - 1 - 1

Wir fassen die Zahlen zusammen:

y=x−2y = x - 2

Schritt 6. Probe

Die Tangente muss durch den Berührpunkt P(1∣−1)P(1 \mid -1) gehen. Wir setzen x=1x = 1 ein:

y=1−2=−1y = 1 - 2 = -1

Das stimmt mit f(1)=−1f(1) = -1 überein.

Antwort

y=x−2\boxed{y = x - 2}

Die Tangente an den Graphen von f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x an der Stelle x0=1x_0 = 1 hat die Gleichung y=x−2y = x - 2.

Die Theorie zu dieser AufgabeKurs: Ableitungen von Grund auf

Quellen

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  1. Serlo - Tangente an Graph (Tangentenformel g(x) = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀), Berührpunkt) · CC BY-SA 4.0
  2. Serlo - Differentialquotient (die Ableitung an der Stelle x₀ ist die Steigung der Tangente) · CC BY-SA 4.0
  3. Serlo - Ableitung berechnen (Potenz-, Faktor- und Summenregel für Polynome) · CC BY-SA 4.0
  4. ZUM-Unterrichten - Einführung in die Differentialrechnung: Der Differentialquotient (Tangentensteigung im Punkt A(x₀ | f(x₀))) · CC BY-SA 4.0
  5. Wikibooks - Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit (Ableitung als Tangentensteigung, Gleichung der Tangente) · CC BY-SA 4.0
  6. TU Braunschweig - Michael Herrmann, Skript Analysis für Elektrotechnik (2024), Kap. 5.1 (f′(x₀) als Anstieg der Tangente, Ableitung von Polynomen) · CC BY-SA 4.0

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