Przejdź do treści
PL - Język: Polski
MatematykaLiceum i technikumŁatwe

Pochodna z definicji

Korzystając z definicji pochodnej, wyznacz f′(x)f'(x) dla funkcji

f(x)=3x2−x.f(x) = 3x^2 - x.
Wskazówkapokaż

Zapisz iloraz różnicowy f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}, rozwiń (x+h)2(x + h)^2 i uprość wyrażenie, zanim przejdziesz do granicy.

Rozwiązanienajpierw spróbuj samodzielnie

Krok 1. Zapisujemy wzór na pochodną z definicji

Korzystamy ze wzoru:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Potrzebujemy więc dwóch wyrażeń: f(x+h)f(x + h) i f(x)f(x).

Krok 2. Obliczamy f(x + h)

Nasza funkcja to:

f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x

W miejsce xx wstawiamy x+hx + h:

f(x+h)=3(x+h)2−(x+h)f(x + h) = 3(x + h)^2 - (x + h)

Rozwijamy kwadrat sumy:

(x+h)2=x2+2xh+h2(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Zatem:

f(x+h)=3(x2+2xh+h2)−x−h\begin{aligned} f(x + h) &= 3(x^2 + 2xh + h^2) \\ &\quad - x - h \end{aligned}

Mnożymy nawias przez 3:

f(x+h)=3x2+6xh+3h2−x−h\boxed{ \begin{aligned} f(x + h) &= 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ &\quad - x - h \end{aligned} }

Krok 3. Obliczamy różnicę f(x + h) − f(x)

Odejmujemy całe f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x, dlatego bierzemy je w nawias:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−(3x2−x)\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - (3x^2 - x) \end{aligned}

Opuszczamy nawias - minus przed nim zmienia znaki obu wyrazów:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−3x2+x\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - 3x^2 + x \end{aligned}

Redukujemy wyrazy podobne: 3x2−3x2=03x^2 - 3x^2 = 0 oraz −x+x=0-x + x = 0:

f(x+h)−f(x)=6xh+3h2−h\boxed{ \begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 6xh + 3h^2 - h \end{aligned} }

Krok 4. Dzielimy różnicę przez h

Wstawiamy różnicę do ilorazu różnicowego:

f(x+h)−f(x)h=6xh+3h2−hh\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{6xh + 3h^2 - h}{h}

Wyłączamy hh przed nawias w liczniku:

f(x+h)−f(x)h=h(6x+3h−1)h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{h(6x + 3h - 1)}{h}

Dla h≠0h \neq 0 skracamy przez hh:

f(x+h)−f(x)h=6x+3h−1\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 6x + 3h - 1

Krok 5. Obliczamy granicę przy h → 0

Mamy:

f′(x)=lim⁡h→0(6x+3h−1)f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 1)

Wyrażenie nie ma już hh w mianowniku, więc możemy podstawić h=0h = 0:

f′(x)=6x+3⋅0−1=6x−1f'(x) = 6x + 3 \cdot 0 - 1 = 6x - 1

Odpowiedź

f′(x)=6x−1\boxed{f'(x) = 6x - 1}

Pochodna funkcji f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x to f′(x)=6x−1f'(x) = 6x - 1. Wynik zgadza się ze wzorami na pochodne: (3x2)′=3⋅2x=6x(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x oraz (−x)′=−1(-x)' = -1.

Teoria do tego zadaniaKurs: Pochodne od podstaw

Źródła

Fakty na tej stronie sprawdziliśmy w tych źródłach. Wszystkie można swobodnie wykorzystywać - mają otwartą licencję albo nie podlegają prawu autorskiemu.

  1. Open AGH e-podręczniki - Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, moduł „Pochodna funkcji w punkcie” (definicja pochodnej z przyrostem h, wygodna do liczenia wprost z definicji) · CC BY-SA 4.0
  2. Dziennik Ustaw 2024 poz. 1019 - podstawa programowa matematyki dla liceum (stosowanie definicji pochodnej, wyprowadzanie wzoru na pochodną jednomianu z definicji) · dokument urzędowy
  3. CKE - Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki (rozdział 16: pochodna funkcji kwadratowej, PDF) · dokument urzędowy
  4. Wikibooks - Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy (definicja pochodnej, pochodna potęgi x^n) · CC BY-SA 4.0
  5. Active Calculus (M. Boelkins) - 1.4 The derivative function (funkcja pochodna z granicy ilorazu różnicowego, przykład dla funkcji kwadratowej) · CC BY-SA 4.0

Więcej zadań: matematyka

MatematykaLiceum i technikumŚrednie

Pochodna iloczynu i funkcji złożonej

Oblicz pochodną funkcji x·√(x² + 9) ze wzorów na pochodną iloczynu i funkcji złożonej, a potem jej wartość w punkcie 4.