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ES - Idioma: Español
MatemáticasBachilleratoFácil

Derivada a partir de la definición

Usando la definición de derivada, calcula f′(x)f'(x) para la función

f(x)=3x2−x.f(x) = 3x^2 - x.
Pistamostrar

Escribe el cociente incremental f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}, desarrolla (x+h)2(x + h)^2 y simplifica la expresión antes de pasar al límite.

Solucióninténtalo antes por tu cuenta

Paso 1. Escribimos la definición de derivada

Partimos de la fórmula:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Así que necesitamos dos expresiones: f(x+h)f(x + h) y f(x)f(x).

Paso 2. Calculamos f(x + h)

Nuestra función es:

f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x

Sustituimos xx por x+hx + h:

f(x+h)=3(x+h)2−(x+h)f(x + h) = 3(x + h)^2 - (x + h)

Desarrollamos el cuadrado de la suma:

(x+h)2=x2+2xh+h2(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Por tanto:

f(x+h)=3(x2+2xh+h2)−x−h\begin{aligned} f(x + h) &= 3(x^2 + 2xh + h^2) \\ &\quad - x - h \end{aligned}

Multiplicamos el paréntesis por 3:

f(x+h)=3x2+6xh+3h2−x−h\boxed{ \begin{aligned} f(x + h) &= 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ &\quad - x - h \end{aligned} }

Paso 3. Calculamos la diferencia f(x + h) − f(x)

Hay que restar f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x completa, así que la escribimos entre paréntesis:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−(3x2−x)\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - (3x^2 - x) \end{aligned}

Quitamos el paréntesis - el signo menos que lo precede cambia el signo de los dos términos:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−3x2+x\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - 3x^2 + x \end{aligned}

Agrupamos términos semejantes: 3x2−3x2=03x^2 - 3x^2 = 0 y −x+x=0-x + x = 0:

f(x+h)−f(x)=6xh+3h2−h\boxed{ \begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 6xh + 3h^2 - h \end{aligned} }

Paso 4. Dividimos la diferencia entre h

Sustituimos la diferencia en el cociente incremental:

f(x+h)−f(x)h=6xh+3h2−hh\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{6xh + 3h^2 - h}{h}

Sacamos factor común hh en el numerador:

f(x+h)−f(x)h=h(6x+3h−1)h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{h(6x + 3h - 1)}{h}

Como h≠0h \neq 0, simplificamos hh:

f(x+h)−f(x)h=6x+3h−1\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 6x + 3h - 1

Paso 5. Pasamos al límite cuando h → 0

Nos queda:

f′(x)=lim⁡h→0(6x+3h−1)f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 1)

Ya no hay ninguna hh en el denominador, así que basta con sustituir hh por 00:

f′(x)=6x+3⋅0−1=6x−1f'(x) = 6x + 3 \cdot 0 - 1 = 6x - 1

Respuesta

f′(x)=6x−1\boxed{f'(x) = 6x - 1}

La derivada de f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x es f′(x)=6x−1f'(x) = 6x - 1. Coincide con lo que dan las reglas de derivación: (3x2)′=3⋅2x=6x(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x y (−x)′=−1(-x)' = -1.

La teoría de este ejercicioCurso: Derivadas desde cero

Fuentes

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  1. BOCM - Decreto 64/2022, currículo del Bachillerato de la Comunidad de Madrid (Matemáticas I: cálculo de derivadas sencillas por definición) · documento oficial
  2. Enseñanza de las Ciencias - Orts, Llinares y Boigues, Trayectorias de aprendizaje del concepto de recta tangente en alumnos de Bachillerato (2018) (la derivada como límite del cociente incremental) · CC BY 4.0
  3. Wikilibros - Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Derivadas (definición y derivada de x² paso a paso) · CC BY-SA 4.0
  4. Wikilibros - Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas (la regla de la potencia deducida de la definición) · CC BY-SA 4.0
  5. Active Calculus - 1.4 The derivative function (derivada de 4x − x² calculada con la definición) · CC BY-SA 4.0
  6. Active Calculus - 2.1 Elementary derivative rules (regla de la potencia y de la suma) · CC BY-SA 4.0

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