Ableitung mit Produkt- und Kettenregel

Zuerst prüfen wir, wo $f$ definiert ist. Der Term unter der Wurzel ist immer positiv, denn $x^2 + 9 \geq 9 > 0$. Die Funktion ist also für jede reelle Zahl definiert und differenzierbar, $D_f = \mathbb{R}$. Damit wir die Produktregel anwenden können, schreiben wir $f$ als Produkt zweier Faktoren:

Wir leiten den ersten Faktor ab. Die Ableitung von $x$ ist $1$:

Der Faktor $v$ ist eine verkettete Funktion, deshalb rechnen wir mit der Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die äußere Funktion ist die Wurzel $\sqrt{z}$ mit der Ableitung $\frac{1}{2\sqrt{z}}$. Die innere Funktion ist $z = x^2 + 9$ mit der Ableitung $2x$. In die äußere Ableitung setzen wir das Innere unverändert ein und multiplizieren dann mit der inneren Ableitung (Nachdifferenzieren):

Wir kürzen die $2$:

Jetzt setzen wir $u$, $u'$, $v$ und $v'$ in die Produktregel $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ ein:

Damit wir die beiden Summanden zu einem Bruch zusammenfassen können, erweitern wir den ersten Summanden mit $\sqrt{x^2 + 9}$. Dabei nutzen wir $\sqrt{x^2 + 9} \cdot \sqrt{x^2 + 9} = x^2 + 9$:

Beide Brüche haben jetzt denselben Nenner, also addieren wir die Zähler:

Wir setzen $x = 4$ in die Ableitung ein und berechnen zuerst die Wurzel im Nenner:

Dann den Zähler:

Also gilt: