Lokale Extrema einer kubischen Funktion

Die Funktion $f(x) = x^3 - 3x$ ist eine ganzrationale Funktion. Sie ist also für jede reelle Zahl definiert und differenzierbar:

Wir leiten jeden Term einzeln ab:

Also:

Wir lösen die Gleichung:

Wir teilen beide Seiten durch 3:

Wir zerlegen die linke Seite mit der dritten binomischen Formel $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt):

Wir schreiben die Ableitung in Produktform:

Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel (der Koeffizient vor $x^2$ ist $3 > 0$) mit den Nullstellen $-1$ und $1$. Sie ist also außerhalb der Nullstellen positiv und dazwischen negativ. Wir prüfen das mit drei Testwerten:

Wir fassen die Ergebnisse in einer Vorzeichentabelle zusammen:

Wo $f'(x) > 0$ ist, ist $f$ streng monoton steigend, und wo $f'(x) < 0$ ist, streng monoton fallend. Weil $f$ stetig ist, dürfen wir die Randstellen mit in die Intervalle nehmen. Die Funktion $f$ ist:

• streng monoton steigend auf $\left]-\infty;\, -1\right]$ und auf $\left[1;\, \infty\right[$,
• streng monoton fallend auf $[-1;\, 1]$.

An der Stelle $x = -1$ wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von $+$ nach $-$, also hat $f$ dort ein lokales Maximum. Wir berechnen den Funktionswert:

Der Hochpunkt ist also $H(-1 \mid 2)$.

An der Stelle $x = 1$ wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$, also hat $f$ dort ein lokales Minimum:

Der Tiefpunkt ist also $T(1 \mid -2)$.