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PT - Idioma: Português (Brasil)
MatemáticaEnsino superiorFácil

Derivada pela definição

Usando a definição de derivada, encontre f′(x)f'(x) para a função

f(x)=3x2−x.f(x) = 3x^2 - x.
Dicamostrar

Escreva a taxa média de variação f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}, desenvolva (x+h)2(x + h)^2 e simplifique a expressão antes de passar ao limite.

Resoluçãotente resolver por conta própria primeiro

Passo 1. Escrevemos a definição de derivada

Usamos a fórmula:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Precisamos, então, de duas expressões: f(x+h)f(x + h) e f(x)f(x).

Passo 2. Calculamos f(x + h)

Nossa função é:

f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x

Trocamos xx por x+hx + h:

f(x+h)=3(x+h)2−(x+h)f(x + h) = 3(x + h)^2 - (x + h)

Desenvolvemos o quadrado da soma:

(x+h)2=x2+2xh+h2(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Logo:

f(x+h)=3(x2+2xh+h2)−x−h\begin{aligned} f(x + h) &= 3(x^2 + 2xh + h^2) \\ &\quad - x - h \end{aligned}

Aplicamos a distributiva, multiplicando cada termo do parêntese por 3:

f(x+h)=3x2+6xh+3h2−x−h\boxed{ \begin{aligned} f(x + h) &= 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ &\quad - x - h \end{aligned} }

Passo 3. Calculamos a diferença f(x + h) − f(x)

Vamos subtrair f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x inteira, por isso colocamos essa expressão entre parênteses:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−(3x2−x)\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - (3x^2 - x) \end{aligned}

Tiramos os parênteses - o sinal de menos na frente deles troca o sinal dos dois termos:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−3x2+x\begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 3x^2 + 6xh + 3h^2 \\ & \quad - x - h - 3x^2 + x \end{aligned}

Agrupamos os termos semelhantes: 3x2−3x2=03x^2 - 3x^2 = 0 e −x+x=0-x + x = 0:

f(x+h)−f(x)=6xh+3h2−h\boxed{ \begin{aligned} & f(x + h) - f(x) \\ & = 6xh + 3h^2 - h \end{aligned} }

Passo 4. Dividimos a diferença por h

Substituímos a diferença na taxa média de variação:

f(x+h)−f(x)h=6xh+3h2−hh\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{6xh + 3h^2 - h}{h}

Colocamos hh em evidência no numerador:

f(x+h)−f(x)h=h(6x+3h−1)h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{h(6x + 3h - 1)}{h}

Para h≠0h \neq 0, simplificamos hh:

f(x+h)−f(x)h=6x+3h−1\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 6x + 3h - 1

Passo 5. Calculamos o limite quando h → 0

Temos:

f′(x)=lim⁡h→0(6x+3h−1)f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 1)

Como não há mais hh no denominador, basta substituir h=0h = 0:

f′(x)=6x+3⋅0−1=6x−1f'(x) = 6x + 3 \cdot 0 - 1 = 6x - 1

Resposta

f′(x)=6x−1\boxed{f'(x) = 6x - 1}

A derivada de f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x é f′(x)=6x−1f'(x) = 6x - 1. O resultado confere com a regra da potência: (3x2)′=3⋅2x=6x(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x e (−x)′=−1(-x)' = -1.

A teoria por trás deste exercícioCurso: Derivadas do zero

Fontes

Conferimos as informações desta página nestas fontes. Todas podem ser reutilizadas livremente: têm licença aberta ou não são protegidas por direitos autorais.

  1. UFMS - Cálculo Diferencial e Integral I, de Magda e Henrique Mongelli (derivada pela definição, com exemplos resolvidos, e a regra da potência) · CC BY-SA 4.0
  2. TEMA (SBMAC) - Magnificação e linearidade local: novas tecnologias no ensino do conceito de derivada (desenvolver f(3 + h) = (3 + h)² e desprezar h² para achar a inclinação) · CC BY 3.0
  3. REAMAT UFRGS - Cálculo Numérico, Diferenças finitas (definição de derivada como limite do quociente de diferenças) · CC BY-SA 3.0
  4. Amazônia - As transições dos estudantes entre panoramas do conceito de derivada (derivada em um ponto como limite das taxas de variação média) · CC BY 4.0
  5. Wikilivros - Cálculo (Volume 1)/Derivadas (definição de derivada e derivada da potência) · CC BY-SA 4.0
  6. Active Calculus - 1.4 The derivative function (a definição por limite aplicada a uma função quadrática) · CC BY-SA 4.0

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