Derivada de un producto y regla de la cadena

Antes de derivar, comprobamos dónde está definida la función. El radicando siempre es positivo, porque $x^2 + 9 \geq 9 > 0$, así que la función está definida y es derivable en todos los números reales: $D = \mathbb{R}$. La escribimos como el producto de dos factores:

Empezamos por el factor más sencillo: la derivada de $x$ es $1$.

El factor $v$ es una función compuesta, así que aplicamos la regla de la cadena. La función exterior es la raíz cuadrada, cuya derivada es $\frac{1}{2\sqrt{t}}$; la interior es $t = x^2 + 9$, cuya derivada es $2x$. Multiplicamos la derivada de la exterior (dejando el interior tal cual) por la derivada de la interior:

Simplificamos el $2$ del numerador con el del denominador:

Ya tenemos las dos derivadas, así que las sustituimos en la regla del producto, $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$:

Para sumar los dos términos, escribimos el primero como una fracción con denominador $\sqrt{x^2 + 9}$. Para ello usamos que $\sqrt{x^2 + 9} \cdot \sqrt{x^2 + 9} = x^2 + 9$:

Ahora sumamos los numeradores:

Sustituimos $x = 4$ en la derivada. Empezamos por la raíz del denominador:

Seguimos con el numerador:

Por tanto: