Pochodna iloczynu i funkcji złożonej

Wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnie: $x^2 + 9 \geq 9 > 0$. Funkcja jest więc określona i różniczkowalna dla każdej liczby rzeczywistej, $D = \mathbb{R}$. Zapisujemy ją jako iloczyn dwóch czynników:

Pochodna $x$ to $1$:

Czynnik $v$ to funkcja złożona. Funkcja zewnętrzna to pierwiastek, a jego pochodna to $\frac{1}{2\sqrt{t}}$. Funkcja wewnętrzna to $t = x^2 + 9$, a jej pochodna to $2x$. Mnożymy pochodną zewnętrznej (z nietkniętym środkiem) przez pochodną wewnętrznej:

Skracamy $2$:

Ze wzoru $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$:

Pierwszy składnik zapisujemy jako ułamek o mianowniku $\sqrt{x^2 + 9}$. Korzystamy z tego, że $\sqrt{x^2 + 9} \cdot \sqrt{x^2 + 9} = x^2 + 9$:

Dodajemy liczniki:

Najpierw liczymy pierwiastek w mianowniku:

Potem licznik:

Zatem: