Derivada pela regra do produto e pela regra da cadeia

Antes de derivar, conferimos onde a função existe. O radicando é sempre positivo, porque $x^2 + 9 \geq 9 > 0$. Então a função está definida e é derivável em todo número real:

Escrevemos $f$ como o produto de dois fatores:

O primeiro fator é a própria variável, e a derivada de $x$ é $1$:

O fator $v$ é uma função composta, por isso usamos a regra da cadeia. A função de fora é a raiz quadrada, cuja derivada é $\dfrac{1}{2\sqrt{t}}$. A função de dentro é $t = x^2 + 9$, cuja derivada é $2x$. Multiplicamos a derivada da função de fora (com o que está dentro intacto) pela derivada da função de dentro:

Cancelamos o fator $2$ do numerador com o $2$ do denominador:

Agora juntamos as duas derivadas com a regra do produto, $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$:

Para somar as duas parcelas, escrevemos a primeira como uma fração de denominador $\sqrt{x^2 + 9}$. Usamos o fato de que $\sqrt{x^2 + 9} \cdot \sqrt{x^2 + 9} = x^2 + 9$:

Com o mesmo denominador, somamos os numeradores:

Substituímos $x = 4$ na derivada simplificada. Primeiro calculamos a raiz do denominador:

Depois, o numerador:

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