Przejdź do treści
PL - Język: Polski
MatematykaLiceum i technikumTrudne

Ekstrema lokalne funkcji sześciennej

Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji

f(x)=x3−3x.f(x) = x^3 - 3x.
Wskazówkapokaż

Funkcja rośnie tam, gdzie f′(x)>0f'(x) > 0, i maleje tam, gdzie f′(x)<0f'(x) < 0. Ekstremum jest w punkcie, w którym pochodna zmienia znak.

Rozwiązanienajpierw spróbuj samodzielnie

Krok 1. Ustalamy dziedzinę

Funkcja f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x jest wielomianem, więc jest określona i różniczkowalna dla każdej liczby rzeczywistej:

D=RD = \mathbb{R}

Krok 2. Obliczamy pochodną

Różniczkujemy każdy wyraz osobno:

(x3)′=3x2,(3x)′=3(x^3)' = 3x^2, \qquad (3x)' = 3

Zatem:

f′(x)=3x2−3\boxed{f'(x) = 3x^2 - 3}

Krok 3. Szukamy miejsc zerowych pochodnej

Rozwiązujemy równanie:

3x2−3=03x^2 - 3 = 0

Dzielimy obie strony przez 3:

x2−1=0x^2 - 1 = 0

Rozkładamy lewą stronę ze wzoru a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b):

(x−1)(x+1)=0(x - 1)(x + 1) = 0

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem:

x=−1lubx=1\boxed{x = -1 \quad \text{lub} \quad x = 1}

Krok 4. Badamy znak pochodnej

Pochodną zapisujemy w postaci iloczynowej:

f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)

Jej wykres to parabola o ramionach skierowanych w górę (współczynnik przy x2x^2 to 3>03 > 0) i miejscach zerowych −1-1 i 11. Jest więc dodatnia na zewnątrz miejsc zerowych, a ujemna między nimi. Sprawdzamy to na trzech przykładowych liczbach:

f′(−2)=3⋅4−3=9>0f′(0)=−3<0f′(2)=3⋅4−3=9>0\begin{aligned} f'(-2) &= 3 \cdot 4 - 3 = 9 > 0 \\ f'(0) &= -3 < 0 \\ f'(2) &= 3 \cdot 4 - 3 = 9 > 0 \end{aligned}

Zbieramy wyniki w tabeli:

xx znak f′(x)f'(x) f(x)f(x)
(−∞,−1)(-\infty, -1) ++ rośnie
−1-1 00 maksimum
(−1,1)(-1, 1) −- maleje
11 00 minimum
(1,∞)(1, \infty) ++ rośnie

Krok 5. Odczytujemy przedziały monotoniczności

Tam, gdzie f′(x)>0f'(x) > 0, funkcja rośnie, a tam, gdzie f′(x)<0f'(x) < 0 - maleje. Funkcja jest ciągła, więc końce przedziałów możemy do nich dołączyć. Funkcja ff:

  • rośnie na przedziałach (−∞,−1⟩(-\infty, -1\rangle i ⟨1,∞)\langle 1, \infty),
  • maleje na przedziale ⟨−1,1⟩\langle -1, 1\rangle.

Krok 6. Wyznaczamy ekstrema i ich wartości

W x=−1x = -1 pochodna zmienia znak z ++ na −-, więc funkcja ma tam maksimum lokalne. Liczymy jego wartość:

f(−1)=(−1)3−3⋅(−1)=−1+3=2\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 - 3 \cdot (-1) \\ &= -1 + 3 \\ &= 2 \end{aligned}

W x=1x = 1 pochodna zmienia znak z −- na ++, więc funkcja ma tam minimum lokalne:

f(1)=13−3⋅1=1−3=−2\begin{aligned} f(1) &= 1^3 - 3 \cdot 1 \\ &= 1 - 3 \\ &= -2 \end{aligned}

Odpowiedź

fmax⁡=f(−1)=2\boxed{f_{\max} = f(-1) = 2}
fmin⁡=f(1)=−2\boxed{f_{\min} = f(1) = -2}

Funkcja rośnie na (−∞,−1⟩(-\infty, -1\rangle i na ⟨1,∞)\langle 1, \infty), maleje na ⟨−1,1⟩\langle -1, 1\rangle. Ma maksimum lokalne w x=−1x = -1 równe 22 i minimum lokalne w x=1x = 1 równe −2-2.

Teoria do tego zadaniaKurs: Pochodne od podstaw

Źródła

Fakty na tej stronie sprawdziliśmy w tych źródłach. Wszystkie można swobodnie wykorzystywać - mają otwartą licencję albo nie podlegają prawu autorskiemu.

  1. Open AGH e-podręczniki - Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, moduł „Zastosowanie pochodnej. Pochodna a monotoniczność funkcji” (znak pochodnej a monotoniczność w przedziale) · CC BY-SA 4.0
  2. Open AGH e-podręczniki - Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, moduł „Ekstrema lokalne” (warunek konieczny i warunek wystarczający: zmiana znaku pochodnej) · CC BY-SA 4.0
  3. Dziennik Ustaw 2024 poz. 1019 - podstawa programowa matematyki dla liceum (stosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji) · dokument urzędowy
  4. CKE - Informator o egzaminie maturalnym z matematyki, poziom rozszerzony, od roku szkolnego 2022/2023 (badanie monotoniczności pochodną, PDF) · dokument urzędowy
  5. CKE - Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki (rozdział 16: pochodne wybranych funkcji, PDF) · dokument urzędowy
  6. Wikibooks - Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy (ekstremum: pochodna równa zeru i zmieniająca znak) · CC BY-SA 4.0

Więcej zadań: matematyka

MatematykaLiceum i technikumŁatwe

Pochodna z definicji

Policz pochodną funkcji kwadratowej, korzystając wyłącznie z definicji pochodnej.

MatematykaLiceum i technikumŚrednie

Pochodna iloczynu i funkcji złożonej

Oblicz pochodną funkcji x·√(x² + 9) ze wzorów na pochodną iloczynu i funkcji złożonej, a potem jej wartość w punkcie 4.