Extremos locais de uma função cúbica

A função $f(x) = x^3 - 3x$ é polinomial, então está definida e é derivável em todo número real:

Derivamos cada termo separadamente:

Logo:

Resolvemos a equação:

Dividimos os dois membros por 3:

Fatoramos o primeiro membro pela diferença de dois quadrados, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

Um produto é igual a zero quando um dos fatores é zero:

Escrevemos a derivada na forma fatorada:

O gráfico dela é uma parábola com a concavidade voltada para cima (o coeficiente de $x^2$ é $3 > 0$) e raízes $-1$ e $1$. Então a derivada é positiva fora das raízes e negativa entre elas. Conferimos isso com três valores de teste:

Organizamos os resultados em uma tabela:

Onde $f'(x) > 0$, a função é crescente, e onde $f'(x) < 0$, ela é decrescente. Como a função é contínua, podemos incluir as extremidades nos intervalos. A função $f$:

• é crescente em $(-\infty, -1]$ e em $[1, +\infty)$,
• é decrescente em $[-1, 1]$.

Em $x = -1$, a derivada troca de sinal de $+$ para $-$, então a função tem um máximo local nesse ponto. Calculamos o valor dele:

Em $x = 1$, a derivada troca de sinal de $-$ para $+$, então a função tem um mínimo local nesse ponto: