Extremos relativos de una función cúbica

La función $f(x) = x^3 - 3x$ es un polinomio, así que está definida y es derivable en todos los números reales:

Derivamos cada término por separado:

Por tanto:

Resolvemos la ecuación:

Dividimos los dos miembros entre 3:

Factorizamos el primer miembro como diferencia de cuadrados, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

Un producto vale cero cuando alguno de sus factores es cero:

Escribimos la derivada factorizada:

Su gráfica es una parábola con las ramas hacia arriba (el coeficiente de $x^2$ es $3 > 0$) que se anula en $-1$ y en $1$. Por eso es positiva fuera de esas dos raíces y negativa entre ellas. Lo comprobamos con tres valores de prueba:

Recogemos los resultados en una tabla:

Donde $f'(x) > 0$ la función es creciente, y donde $f'(x) < 0$, decreciente. Como $f$ es continua, podemos incluir los puntos $x = -1$ y $x = 1$ en los intervalos. La función $f$:

• es creciente en $(-\infty, -1]$ y en $[1, +\infty)$,
• es decreciente en $[-1, 1]$.

En $x = -1$ la derivada pasa de $+$ a $-$, así que la función tiene ahí un máximo relativo. Calculamos su valor:

En $x = 1$ la derivada pasa de $-$ a $+$, así que la función tiene ahí un mínimo relativo: