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MatemáticasBachilleratoMedia

Ecuación de la recta tangente a una gráfica

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x

en el punto de abscisa x0=1x_0 = 1.

Pistamostrar

La recta tangente en x0x_0 tiene por ecuación y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). Así que necesitas dos números: f(1)f(1) y f′(1)f'(1).

Solucióninténtalo antes por tu cuenta

Paso 1. Escribimos la ecuación de la recta tangente

La recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x0x_0 es:

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Para x0=1x_0 = 1:

y=f′(1)(x−1)+f(1)y = f'(1)(x - 1) + f(1)

Así que necesitamos dos números: f(1)f(1) y f′(1)f'(1).

Paso 2. Calculamos f(1)

Sustituimos x=1x = 1 en la función:

f(1)=13−2⋅1f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1
f(1)=1−2f(1) = 1 - 2
f(1)=−1\boxed{f(1) = -1}

Por tanto, el punto de tangencia es P=(1,−1)P = (1, -1).

Paso 3. Calculamos la derivada f′(x)

Derivamos cada término por separado (la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas):

(x3)′=3x2,(2x)′=2(x^3)' = 3x^2, \qquad (2x)' = 2

Por tanto:

f′(x)=3x2−2\boxed{f'(x) = 3x^2 - 2}

Paso 4. Calculamos f′(1)

Sustituimos x=1x = 1 en la derivada:

f′(1)=3⋅12−2f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2
f′(1)=3−2f'(1) = 3 - 2
f′(1)=1\boxed{f'(1) = 1}

Esta es la pendiente de la recta tangente: por cada unidad que avanzamos hacia la derecha, la recta sube 1.

Paso 5. Sustituimos en la ecuación de la recta tangente

Tenemos f(1)=−1f(1) = -1 y f′(1)=1f'(1) = 1:

y=1⋅(x−1)+(−1)y = 1 \cdot (x - 1) + (-1)

Multiplicamos el paréntesis por 1 y lo quitamos:

y=x−1−1y = x - 1 - 1

Agrupamos los términos independientes:

y=x−2y = x - 2

Paso 6. Comprobamos el resultado

La recta tangente tiene que pasar por el punto de tangencia P=(1,−1)P = (1, -1). Sustituimos x=1x = 1:

y=1−2=−1y = 1 - 2 = -1

Coincide con f(1)=−1f(1) = -1.

Respuesta

y=x−2\boxed{y = x - 2}

La recta tangente a la gráfica de f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x en el punto de abscisa x0=1x_0 = 1 es y=x−2y = x - 2.

La teoría de este ejercicioCurso: Derivadas desde cero

Fuentes

Hemos contrastado los datos de esta página con estas fuentes. Todas se pueden reutilizar libremente: tienen una licencia abierta o no están sujetas a derechos de autor.

  1. BOCM - Decreto 64/2022, currículo del Bachillerato de la Comunidad de Madrid (Matemáticas I: ecuación de la recta tangente a una curva en un punto) · documento oficial
  2. Enseñanza de las Ciencias - Orts, Llinares y Boigues, Trayectorias de aprendizaje del concepto de recta tangente en alumnos de Bachillerato (2018) (pendiente de la tangente igual a la derivada, forma punto-pendiente) · CC BY 4.0
  3. Junta de Andalucía - Directrices y orientaciones de la PAU 2026-2027, Matemáticas II (la recta tangente a una gráfica en el temario) · CC BY 3.0 ES
  4. Wikilibros - Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Derivadas (la derivada como pendiente de la tangente) · CC BY-SA 4.0
  5. Active Calculus - 1.8 The tangent line approximation (ecuación de la recta tangente) · CC BY-SA 4.0
  6. Active Calculus - 2.1 Elementary derivative rules (regla de la potencia y de la suma) · CC BY-SA 4.0

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