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MatemáticaEnsino superiorMédia

Equação da reta tangente ao gráfico

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função

f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x

no ponto de abscissa x0=1x_0 = 1.

Dicamostrar

A reta tangente no ponto x0x_0 tem equação y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). Então você precisa de dois números: f(1)f(1) e f′(1)f'(1).

Resoluçãotente resolver por conta própria primeiro

Passo 1. Escrevemos a equação da reta tangente

A reta tangente ao gráfico de ff no ponto de abscissa x0x_0 tem equação:

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Para x0=1x_0 = 1, ela fica:

y=f′(1)(x−1)+f(1)y = f'(1)(x - 1) + f(1)

Precisamos, então, de dois números: f(1)f(1) e f′(1)f'(1).

Passo 2. Calculamos f(1)

Substituímos x=1x = 1 na função:

f(1)=13−2⋅1f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1
f(1)=1−2f(1) = 1 - 2
f(1)=−1\boxed{f(1) = -1}

Logo, o ponto de tangência é P=(1,−1)P = (1, -1).

Passo 3. Calculamos a derivada f′(x)

Derivamos cada termo separadamente (a derivada da diferença é a diferença das derivadas):

(x3)′=3x2,(2x)′=2(x^3)' = 3x^2, \qquad (2x)' = 2

Logo:

f′(x)=3x2−2\boxed{f'(x) = 3x^2 - 2}

Passo 4. Calculamos f′(1)

Substituímos x=1x = 1 na derivada:

f′(1)=3⋅12−2f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2
f′(1)=3−2f'(1) = 3 - 2
f′(1)=1\boxed{f'(1) = 1}

Esse é o coeficiente angular da reta tangente: ela sobe 1 unidade a cada unidade que andamos para a direita.

Passo 5. Substituímos na equação da reta tangente

Temos f(1)=−1f(1) = -1 e f′(1)=1f'(1) = 1:

y=1⋅(x−1)+(−1)y = 1 \cdot (x - 1) + (-1)

Multiplicamos o parêntese por 1 e eliminamos os parênteses:

y=x−1−1y = x - 1 - 1

Somamos os termos constantes:

y=x−2y = x - 2

Passo 6. Conferimos o resultado

A reta tangente precisa passar pelo ponto de tangência P=(1,−1)P = (1, -1). Substituímos x=1x = 1:

y=1−2=−1y = 1 - 2 = -1

O valor bate com f(1)=−1f(1) = -1.

Resposta

y=x−2\boxed{y = x - 2}

A reta tangente ao gráfico de f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x no ponto de abscissa x0=1x_0 = 1 tem equação y=x−2y = x - 2.

A teoria por trás deste exercícioCurso: Derivadas do zero

Fontes

Conferimos as informações desta página nestas fontes. Todas podem ser reutilizadas livremente: têm licença aberta ou não são protegidas por direitos autorais.

  1. UFMS - Cálculo Diferencial e Integral I, de Magda e Henrique Mongelli (equação da reta tangente y − y0 = f'(x0)(x − x0), com exemplos resolvidos) · CC BY-SA 4.0
  2. Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo - A interpretação geométrica da derivada com o GeoGebra em um problema do universo Star Wars (equação da reta pelo ponto e pelo coeficiente angular; tangente como limite de secantes) · CC BY 4.0
  3. Educação Matemática em Revista-RS - Uma proposta para o ensino de derivada na primeira série do ensino médio no Brasil (a inclinação da reta tangente é a derivada no ponto) · CC BY 4.0
  4. TEMA (SBMAC) - Magnificação e linearidade local: novas tecnologias no ensino do conceito de derivada (perto do ponto, o gráfico se confunde com a reta tangente) · CC BY 3.0
  5. Wikilivros - Cálculo (Volume 1)/Derivadas (coeficiente angular e reta tangente; derivada da potência) · CC BY-SA 4.0
  6. Active Calculus - 1.8 The tangent line approximation (equação da reta tangente na forma ponto-inclinação) · CC BY-SA 4.0

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