Przejdź do treści
PL - Język: Polski
MatematykaLiceum i technikumŚrednie

Równanie stycznej do wykresu

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x

w punkcie o odciętej x0=1x_0 = 1.

Wskazówkapokaż

Styczna w punkcie x0x_0 ma równanie y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). Potrzebujesz więc dwóch liczb: f(1)f(1) i f′(1)f'(1).

Rozwiązanienajpierw spróbuj samodzielnie

Krok 1. Zapisujemy równanie stycznej

Styczna do wykresu funkcji ff w punkcie o odciętej x0x_0 ma równanie:

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Podstawiamy x0=1x_0 = 1:

y=f′(1)(x−1)+f(1)y = f'(1)(x - 1) + f(1)

Potrzebujemy więc dwóch liczb: f(1)f(1) i f′(1)f'(1).

Krok 2. Obliczamy f(1)

Podstawiamy x=1x = 1 do wzoru funkcji:

f(1)=13−2⋅1f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1
f(1)=1−2f(1) = 1 - 2
f(1)=−1\boxed{f(1) = -1}

Punkt styczności to więc P=(1,−1)P = (1, -1).

Krok 3. Obliczamy pochodną f′(x)

Różniczkujemy każdy wyraz osobno (pochodna różnicy to różnica pochodnych):

(x3)′=3x2,(2x)′=2(x^3)' = 3x^2, \qquad (2x)' = 2

Zatem:

f′(x)=3x2−2\boxed{f'(x) = 3x^2 - 2}

Krok 4. Obliczamy f′(1)

Podstawiamy x=1x = 1 do pochodnej:

f′(1)=3⋅12−2f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2
f′(1)=3−2f'(1) = 3 - 2
f′(1)=1\boxed{f'(1) = 1}

To współczynnik kierunkowy stycznej: styczna wznosi się o 1 na każdą jednostkę w prawo.

Krok 5. Podstawiamy do równania stycznej

Mamy f(1)=−1f(1) = -1 i f′(1)=1f'(1) = 1:

y=1⋅(x−1)+(−1)y = 1 \cdot (x - 1) + (-1)

Mnożymy nawias przez 1 i opuszczamy go:

y=x−1−1y = x - 1 - 1

Redukujemy wyrazy wolne:

y=x−2y = x - 2

Krok 6. Sprawdzamy wynik

Styczna musi przechodzić przez punkt styczności P=(1,−1)P = (1, -1). Podstawiamy x=1x = 1:

y=1−2=−1y = 1 - 2 = -1

Zgadza się z f(1)=−1f(1) = -1.

Odpowiedź

y=x−2\boxed{y = x - 2}

Styczna do wykresu funkcji f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x w punkcie o odciętej x0=1x_0 = 1 ma równanie y=x−2y = x - 2.

Teoria do tego zadaniaKurs: Pochodne od podstaw

Źródła

Fakty na tej stronie sprawdziliśmy w tych źródłach. Wszystkie można swobodnie wykorzystywać - mają otwartą licencję albo nie podlegają prawu autorskiemu.

  1. CKE - Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki (rozdział 16: pochodne wybranych funkcji, równanie stycznej, PDF) · dokument urzędowy
  2. Open AGH e-podręczniki - Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, moduł „Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji” (twierdzenie o równaniu stycznej) · CC BY-SA 4.0
  3. Dziennik Ustaw 2024 poz. 1019 - podstawa programowa matematyki dla liceum (interpretacja geometryczna pochodnej: styczna, nachylenie wykresu) · dokument urzędowy
  4. Wikibooks - Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy (pochodna jako współczynnik kierunkowy stycznej) · CC BY-SA 4.0
  5. Active Calculus (M. Boelkins) - 1.8 The tangent line approximation (równanie stycznej y = f(a) + f'(a)(x - a)) · CC BY-SA 4.0

Więcej zadań: matematyka

MatematykaLiceum i technikumŁatwe

Pochodna z definicji

Policz pochodną funkcji kwadratowej, korzystając wyłącznie z definicji pochodnej.

MatematykaLiceum i technikumŚrednie

Pochodna iloczynu i funkcji złożonej

Oblicz pochodną funkcji x·√(x² + 9) ze wzorów na pochodną iloczynu i funkcji złożonej, a potem jej wartość w punkcie 4.