Rozkład normalny i odchylenie standardowe - krzywa Gaussa wyjaśniona krok po kroku

Główna idea: większość wartości leży blisko średniej

Zważmy tysiąc torebek mąki z jednej maszyny. Nie każda będzie ważyć dokładnie $1000$ g. Większość będzie ważyć prawie tyle, część trochę więcej lub trochę mniej, a tylko nieliczne wyraźnie odbiegną od $1000$ g. Na histogramie mas słupki układają się w symetryczny kształt przypominający dzwon.

Rozkład normalny to matematyczny model takiego dzwonu. Wyznaczają go tylko dwie liczby:

• średnia $\mu$ (greckie „mi”) - mówi, gdzie leży środek dzwonu,
• odchylenie standardowe $\sigma$ (sigma) - mówi, jak daleko od średniej leżą typowe wartości. Przy małym $\sigma$ dzwon jest wąski i wysoki, a przy dużym - szeroki i niski.

O tym, jaka część wartości leży w danym przedziale, mówi pole pod krzywą nad tym przedziałem. Całe pole pod krzywą jest równe $1$, czyli 100%.

Dlaczego rozkład normalny pojawia się tak często? W uproszczeniu: suma lub średnia wielu drobnych, niezależnych czynników losowych ma w przybliżeniu rozkład normalny, bez względu na to, jaki rozkład ma każdy z nich. Tak mówi centralne twierdzenie graniczne. Rozkład normalny nazywa się też rozkładem Gaussa, od nazwiska matematyka Carla Friedricha Gaussa.

Od histogramu do krzywej Gaussa

Animację możesz przechodzić krok po kroku przyciskami albo strzałkami na klawiaturze. Słupki tworzą histogram mas $1000$ torebek z symulacji komputerowej, a kolorowa krzywa to opisujący je rozkład normalny.

Krzywa nie pokrywa się dokładnie z każdym słupkiem. To model: opisuje ogólny kształt danych, a nie każdą torebkę z osobna. Im więcej torebek zważymy, tym bliżej krzywej będzie histogram - wypróbuj to poniżej.

Wypróbuj: μ, σ i pole pod krzywą

Suwakami ustawisz średnią $\mu$ i odchylenie standardowe $\sigma$ maszyny oraz przedział od $a$ do $b$. Zacieniowane pole to prawdopodobieństwo, że masa torebki znajdzie się w tym przedziale. Potem zważ kilkaset torebek i porównaj z tym polem odsetek torebek, które trafiły do przedziału.

Na co zwrócić uwagę:

• zmiana $\mu$ tylko przesuwa krzywą - jej kształt się nie zmienia,
• przy większym $\sigma$ krzywa jest szersza i niższa, bo pole pod nią zawsze wynosi $1$,
• ustaw $a = \mu - \sigma$ i $b = \mu + \sigma$ (na przykład $\mu = 1000$, $\sigma = 4$, $a = 996$ i $b = 1004$): pole wynosi 68,3% bez względu na to, jakie są $\mu$ i $\sigma$,
• pole zależy tylko od wartości standaryzowanych $a$ i $b$,
• im więcej torebek zważysz, tym bliższy pola będzie odsetek torebek o masie od $a$ do $b$.

Definicja

Średnia i odchylenie standardowe danych. Średnia arytmetyczna liczb $x_1, x_2, \ldots, x_n$ to

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń danych od średniej, a odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji:

Odchylenia podnosimy do kwadratu, żeby ujemne (poniżej średniej) i dodatnie (powyżej niej) nie znosiły się wzajemnie. Pierwiastek przywraca wynikowi jednostkę danych, na przykład gramy. W statystyce odchylenie standardowe z próby często oblicza się, dzieląc przez $n - 1$ zamiast przez $n$. Przy dużych próbach różnica jest niewielka.

Rozkład normalny. Zmienna losowa $X$ ma rozkład normalny o średniej $\mu$ i odchyleniu standardowym $\sigma > 0$, co zapisujemy $X \sim N(\mu, \sigma)$, jeśli jej gęstość prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

Wykres gęstości to właśnie krzywa Gaussa, a prawdopodobieństwa to pola pod nią. Krzywa jest symetryczna względem prostej $x = \mu$ i tam osiąga największą wartość. Jej punkty przegięcia, w których krzywa zmienia kierunek wygięcia, mają odcięte $\mu - \sigma$ i $\mu + \sigma$. Całe pole pod krzywą jest równe $1$. Prawdopodobieństwo, że $X$ przyjmie wartość od $a$ do $b$, to pole pod krzywą od $a$ do $b$. Każda pojedyncza wartość ma prawdopodobieństwo $0$, więc $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$.

Reguła trzech sigm (68-95-99,7). W każdym rozkładzie normalnym:

• około 68,27% wartości leży w przedziale od $\mu - \sigma$ do $\mu + \sigma$, czyli nie dalej niż $\sigma$ od średniej,
• około 95,45% leży nie dalej niż $2\sigma$ od średniej,
• około 99,73% leży nie dalej niż $3\sigma$ od średniej.

Standaryzacja. Wartość standaryzowana $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ mówi, ile odchyleń standardowych dzieli $x$ od średniej. Jest dodatnia, gdy $x$ leży powyżej średniej, a ujemna, gdy leży poniżej. Jeśli $X \sim N(\mu, \sigma)$, to zmienna standaryzowana $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ ma standardowy rozkład normalny $N(0, 1)$. Wartości jego dystrybuanty $\Phi(z) = P(Z < z)$, czyli pola na lewo od $z$, podają tablice statystyczne i kalkulatory:

Tablice zwykle podają tylko $z \ge 0$. Dla ujemnego $z$ korzystamy z symetrii krzywej:

Dla przedziału od $a$ do $b$, gdzie $z_a$ i $z_b$ to wartości standaryzowane jego końców, mamy:

Przykład 1: odchylenie standardowe pięciu liczb

Pięcioro uczniów zmierzyło, ile minut zajęło im rozwiązanie łamigłówki: $4$, $6$, $7$, $8$ i $10$. Oblicz średnią i odchylenie standardowe tych czasów.

Przykład 2: odsetek lekkich torebek

Masa torebki mąki ma rozkład normalny o średniej $\mu = 1000$ g i odchyleniu standardowym $\sigma = 5$ g. Jaka część torebek waży mniej niż $992$ g?

Teraz Ty

Wysokość młodych sadzonek pomidorów w szklarni ma rozkład normalny o średniej $60$ cm i odchyleniu standardowym $12$ cm. Jaka część sadzonek ma wysokość od $54$ cm do $78$ cm?

Typowe błędy

• Szukanie w tablicy $x$ zamiast $z$. Tablica dotyczy standardowego rozkładu normalnego, więc najpierw trzeba standaryzować. Dla $992$ g przy $\mu = 1000$ g i $\sigma = 5$ g potrzebna jest wartość dla $z = -1{,}6$, a nie dla $992$.
• Pominięcie „1 −”. $\Phi(z)$ to pole na lewo od $z$. Gdy pytamy o wartości większe niż $z$, potrzebne jest pole na prawo: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$. Na przykład $P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.
• Mylenie $\sigma$ i $\sigma^2$. Jedne podręczniki zapisują rozkład normalny jako $N(\mu, \sigma^2)$, z wariancją na drugim miejscu, a inne - tak jak ta strona i podręczniki Open AGH - jako $N(\mu, \sigma)$. Jeśli w zapisie $N(10, 16)$ drugi parametr to wariancja, odchylenie standardowe wynosi $\sqrt{16} = 4$, a nie $16$. Sprawdź, którego zapisu używa twój podręcznik lub wykładowca.
• Stosowanie reguły trzech sigm do dowolnych danych. Reguła dotyczy rozkładów normalnych. Przy innym kształcie rozkładu odsetki są inne. W rozkładzie jednostajnym, którego gęstość jest stała na pewnym przedziale, nie dalej niż $\sigma$ od średniej leży tylko około 58% wartości.
• „Przy większym σ krzywa jest wyższa”. Jest odwrotnie. Pole pod krzywą zawsze wynosi $1$, więc szersza krzywa musi być niższa: jej wierzchołek leży na wysokości $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$.

Na maturze i na studiach

Rozkładu normalnego nie ma w podstawie programowej matematyki dla liceum i technikum. Od zmiany wprowadzonej rozporządzeniem z 28 czerwca 2024 r. (Dz.U. z 2024 r. poz. 1019) nie ma w niej też odchylenia standardowego. Dział „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka” obejmuje teraz w zakresie podstawowym prawdopodobieństwo w modelu klasycznym oraz średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i dominantę. W zakresie rozszerzonym dochodzą prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i schemat Bernoullego. W pierwotnym brzmieniu podstawy z 2018 r. (Dz.U. z 2018 r. poz. 467) zakres podstawowy obejmował jeszcze obliczanie odchylenia standardowego zestawu danych i jego interpretację.

Matura z matematyki sprawdza wymagania z podstawy programowej w zmienionym brzmieniu, więc zadania ze statystyki dotyczą średniej, mediany i dominanty. Wzory na wariancję i odchylenie standardowe wciąż są jednak w „Wybranych wzorach matematycznych”, z których zdający korzystają na maturze. W rozdziale 15, „Parametry danych statystycznych”, wariancja $\sigma^2$ i odchylenie standardowe $\sigma$ danych $a_1, a_2, \ldots, a_n$ są liczone z dzieleniem przez $n$, tak jak w definicji na tej stronie. Średnia jest tam oznaczona $\bar{a}$, a nie $\bar{x}$.

Odchylenie standardowe pojawia się natomiast w podstawie programowej biologii w zakresie rozszerzonym. W części „Warunki i sposób realizacji” jest tam mowa o analizowaniu wyników doświadczeń z użyciem podstawowych parametrów statystycznych: średniej arytmetycznej i ważonej, mediany oraz odchylenia standardowego wraz z jego interpretacją.

Na studiach rozkład normalny należy do podstaw kursu rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. W otwartym podręczniku Open AGH „Jednowymiarowa zmienna losowa” zamyka on rozdział o rozkładach zmiennych losowych typu ciągłego, po rozkładach jednostajnym, trójkątnym, trapezoidalnym i wykładniczym. Zapisuje się go tam jako $N(m, \sigma)$, z odchyleniem standardowym na drugim miejscu, a prawdopodobieństwa odczytuje się z tablicy dystrybuanty rozkładu $N(0, 1)$. W podręczniku Open AGH „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka” przedział ufności dla wariancji buduje się przy założeniu, że populacja ma rozkład normalny. Obok wariancji z próby z dzieleniem przez $n$ pojawia się tam wariancja z dzieleniem przez $n - 1$ - to ona jest nieobciążonym estymatorem wariancji populacji.

Sprawdź się

Fiszki do powtórki

Odwróć fiszkę i oceń, czy znasz odpowiedź. Te, których jeszcze nie znasz, wrócą na koniec talii. Dlaczego warto wrócić do nich za kilka dni, przeczytasz w poradniku Powtórki rozłożone w czasie.