Distribuição normal e desvio padrão - a curva em forma de sino passo a passo

A ideia: a maioria dos valores fica perto da média

Uma máquina está regulada para encher pacotes com $1000$ g de farinha. Se você pesar mil desses pacotes, nem todos vão ter exatamente $1000$ g. A maioria vai ficar perto disso, alguns um pouco mais longe, e pouquíssimos bem longe. No histograma dessas massas aparece um formato quase simétrico, parecido com um sino.

A distribuição normal é o modelo matemático desse sino. Ela é determinada por apenas dois números:

• a média $\mu$ (a letra grega mi) - onde fica o centro do sino,
• o desvio padrão $\sigma$ (sigma) - quanto os valores costumam se afastar da média. Um $\sigma$ pequeno dá um sino estreito e alto, e um $\sigma$ grande, um sino largo e baixo.

A proporção dos valores que caem em um intervalo é igual à área sob a curva nesse intervalo. A área total sob a curva é $1$, ou seja, 100%.

Por que esse sino aparece tanto? Em linhas gerais, a soma ou a média de muitos valores aleatórios independentes tem distribuição aproximadamente normal, seja qual for a distribuição de cada um deles: é o teorema central do limite. A distribuição normal também é chamada de distribuição gaussiana ou curva de Gauss, em homenagem ao matemático Carl Friedrich Gauss.

Do histograma à curva em forma de sino

Avance pela animação passo a passo com os botões ou com as setas do teclado. As barras mostram as massas de $1000$ pacotes (simulados no computador), e a curva colorida é a distribuição normal que serve de modelo para elas.

A curva não coincide exatamente com cada barra. Ela é um modelo: descreve o padrão geral, e não cada pacote. Quanto mais pacotes pesamos, mais o histograma se aproxima da curva - experimente no laboratório abaixo.

Experimente: μ, σ e a área sob a curva

Com os controles deslizantes, você escolhe a média $\mu$ e o desvio padrão $\sigma$ da máquina e uma faixa de $a$ até $b$. A área sombreada é a probabilidade de a massa de um pacote cair nessa faixa. Depois, pese algumas centenas de pacotes e compare com a área a proporção dos pacotes que caem na faixa.

O que observar:

• mudar $\mu$ só desloca a curva - a forma dela continua a mesma,
• um $\sigma$ maior dá uma curva mais larga e mais baixa, porque a área sob ela é sempre $1$,
• coloque $a$ e $b$ a um $\sigma$ de cada lado de $\mu$ (por exemplo, $\mu = 1000$, $\sigma = 4$, $a = 996$ e $b = 1004$): a área dá 68,3%, sejam quais forem $\mu$ e $\sigma$,
• a área só depende dos escores z de $a$ e de $b$,
• quanto mais pacotes você pesa, mais a proporção deles entre $a$ e $b$ se aproxima da área.

A definição

Média e desvio padrão de um conjunto de dados. Para os dados $x_1, x_2, \ldots, x_n$, a média é

A variância é a média dos quadrados dos desvios, isto é, das diferenças entre cada valor e a média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Elevamos os desvios ao quadrado para que os que ficam abaixo da média não anulem os que ficam acima. A raiz quadrada devolve o resultado à unidade dos dados (gramas, por exemplo). Em estatística, o desvio padrão de uma amostra costuma ser calculado com $n - 1$ no lugar de $n$ no denominador; em amostras grandes, a diferença é pequena.

A distribuição normal. Uma variável aleatória $X$ tem distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ quando as probabilidades associadas a ela são dadas pelas áreas sob a curva em forma de sino

Indicamos essa distribuição por $N(\mu, \sigma^2)$: o segundo número entre parênteses é a variância, e não o desvio padrão. A curva é simétrica em relação à reta $x = \mu$ e atinge ali o seu ponto mais alto. Os pontos de inflexão, onde a curva muda de concavidade, ficam em $\mu - \sigma$ e $\mu + \sigma$. A área total sob a curva é $1$. A probabilidade de $X$ estar entre $a$ e $b$ é a área sob a curva de $a$ até $b$. Um valor isolado tem probabilidade $0$, então $P(a < X < b)$ e $P(a \le X \le b)$ são iguais.

A regra 68-95-99,7. Em toda distribuição normal:

• cerca de 68,27% dos valores ficam a até um $\sigma$ da média, de $\mu - \sigma$ a $\mu + \sigma$,
• cerca de 95,45% ficam a até $2\sigma$,
• cerca de 99,73% ficam a até $3\sigma$.

Padronização. O escore z, $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, diz a quantos desvios padrão $x$ está da média. Se $X$ tem distribuição $N(\mu, \sigma^2)$, então $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ tem a distribuição normal padrão $N(0, 1)$. As áreas sob essa curva, $\Phi(z) = P(Z < z)$, vêm na tabela da normal padrão e também podem ser obtidas em calculadoras:

Muitas tabelas só trazem $z \ge 0$. Para um $z$ negativo, use a simetria da curva:

Para uma faixa de $a$ até $b$, sendo $z_a$ e $z_b$ os escores z das extremidades:

Exemplo 1: o desvio padrão de cinco números

Cinco estudantes cronometraram quanto tempo levaram para montar um quebra-cabeça, em minutos: $4$, $6$, $7$, $8$ e $10$. Calcule a média e o desvio padrão desses tempos.

Exemplo 2: a porcentagem de pacotes leves

A massa de um pacote de farinha segue a distribuição normal com média $\mu = 1000$ g e desvio padrão $\sigma = 5$ g. Que porcentagem dos pacotes pesa menos de $992$ g?

Sua vez

As alturas das mudas de tomate de uma estufa seguem a distribuição normal com média $60$ cm e desvio padrão $12$ cm. Que porcentagem das mudas tem entre $54$ cm e $78$ cm de altura?

Erros comuns

• Procurar $x$ na tabela em vez de $z$. A tabela é da distribuição normal padrão, então padronize primeiro. Para $992$ g, com $\mu = 1000$ g e $\sigma = 5$ g, trabalhe com $z = -1{,}6$, e não com $992$.
• Esquecer o “1 −”. $\Phi(z)$ é a área à esquerda de $z$. Para “mais que”, você precisa da área à direita: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$. Por exemplo, $P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.
• Confundir $\sigma$ com $\sigma^2$. Alguns livros escrevem a distribuição normal como $N(\mu, \sigma^2)$, outros como $N(\mu, \sigma)$. Em $N(10, 16)$, escrita do primeiro jeito, o desvio padrão é $\sqrt{16} = 4$, e não $16$. Confira qual notação o seu livro usa.
• Usar a regra 68-95-99,7 para qualquer conjunto de dados. A regra vale para distribuições normais. Com outras formas, as proporções mudam: em uma distribuição uniforme, em que todos os valores de um intervalo são igualmente prováveis, só cerca de 58% dos valores ficam a até um $\sigma$ da média.
• “Um σ maior deixa a curva mais alta.” É o contrário. A área sob a curva é sempre $1$, então uma curva mais larga tem de ser mais baixa: a altura do pico é $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$.

No ensino médio, no Enem e na faculdade

Na BNCC, o desvio padrão é conteúdo do ensino médio. A habilidade EM13MAT316 pede que o estudante resolva e elabore problemas com o cálculo e a interpretação das medidas de tendência central (média, moda e mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão). A EM13MAT202 pede uma pesquisa amostral, com um relatório que interprete essas medidas, entre elas a amplitude e o desvio padrão. Antes disso, no 8º ano, a habilidade EF08MA25 relaciona as medidas de tendência central com a dispersão dos dados, indicada pela amplitude.

Na Matriz de Referência do Enem, a competência de área 7 de Matemática trata de fenômenos aleatórios, de amostras e de probabilidade. Dentro dela, a habilidade H27 é calcular medidas de tendência central ou de dispersão de dados apresentados em gráficos ou em uma tabela de frequências. Entre os objetos de conhecimento de estatística estão as médias, a moda e a mediana, os desvios e a variância.

A distribuição normal em si não é citada pelo nome nem na BNCC nem nessa lista de objetos de conhecimento do Enem. Um estudo sobre os livros de Projetos Integradores e de Projeto de Vida do novo ensino médio, aprovados no PNLD 2021, observa que a BNCC só contempla a curva normal de forma implícita e que esses livros pouco a exploram.

Na graduação, a distribuição normal faz parte das disciplinas introdutórias de Estatística ou de Probabilidade e Estatística. No livro aberto de Probabilidade e Estatística da UFRGS, uma tradução e adaptação do OpenIntro Statistics que faz uma introdução à estatística em nível de graduação, ela vem depois dos capítulos sobre dados e sobre probabilidade. Logo em seguida vêm os fundamentos da inferência, onde aparece o teorema central do limite.

Um cuidado com as tabelas: nesta página, $\Phi(z)$ é a área à esquerda de $z$, mas nem toda tabela traz essa área. Algumas dão a área de $0$ até $z$, então leia sempre o cabeçalho. Para $z \ge 0$, vale $\Phi(z) = 0{,}5 + P(0 \le Z \le z)$. Em uma tabela desse tipo, por exemplo, a linha de $z = 1$ traz $0{,}3413$, e $\Phi(1) = 0{,}5 + 0{,}3413 = 0{,}8413$.

Teste o que você aprendeu

Flashcards para revisão

Vire cada cartão e diga se você sabia a resposta. Os que você não sabia voltam para o fim do baralho. No guia Repetição espaçada, você descobre por que vale a pena revê-los daqui a alguns dias.