Integración por partes y por cambio de variable, paso a paso

La idea: integrar es deshacer una derivada

Para derivar tienes reglas para dos casos que aparecen continuamente: un producto $u \cdot v$ y una función compuesta $f(g(x))$. Para integrar no hay reglas nuevas para estos casos. Se aprovechan las de derivación, pero aplicadas al revés:

• la regla del producto da lugar a la integración por partes;
• la regla de la cadena da lugar al cambio de variable, también llamado integración por sustitución.

Así que, cuando tengas que integrar un producto, pregúntate si puede salir de derivar otro producto. Y cuando veas una función compuesta, mira si a su lado hay un factor que se parezca a la derivada de lo que va dentro.

El cambio de variable: la misma área, ahora con $u = x^2$

Avanza por la animación con los botones o con las flechas del teclado. Vamos a calcular el área bajo $x\,e^{-x^2}$ entre $0$ y $2$.

Fíjate en los límites: han pasado de $0$ y $2$ a $0$ y $4$. También ha cambiado la gráfica, pero el número que buscábamos sigue siendo el mismo.

La integración por partes: la regla del producto al revés

Según la regla del producto, $(uv)' = u'v + uv'$. Si integras los dos miembros y despejas, obtienes:

La utilidad de la fórmula está en la segunda integral: cambia la integral de $u\,dv$ por la de $v\,du$, que, si eliges bien, debería ser más sencilla. Aquí $dv = v'\,dx$ y $du = u'\,dx$.

Pruébalo tú: los dos términos de la fórmula

Elige una función y mueve el límite superior $b$. El área bajo la gráfica se obtiene a partir de dos números: el primer término de la fórmula, $[uv]$ evaluado entre los límites, y el segundo, $\int v\,du$. La integral es su diferencia.

Fíjate en lo siguiente:

• el laboratorio siempre toma como $u$ el factor que se simplifica al derivarlo: $x$ pasa a ser $1$, y $\ln x$ pasa a ser $\frac{1}{x}$;
• $dv$ es lo que queda, y tiene que ser algo que sepamos integrar;
• en $\ln x$ ni siquiera se ve un producto. Lo escribimos como $\ln x \cdot 1$ y tomamos $dv = dx$.

Cómo elegir $u$ y $dv$

No hay una regla que funcione siempre, pero sí un buen criterio: elígelos de forma que $\int v\,du$ sea, como mínimo, tan sencilla como la integral de partida. En la práctica:

• toma como $u$ el factor que se simplifica al derivar, como $x$ o $\ln x$;
• toma como $dv$ un factor que sepas integrar.

En $\int x \operatorname{sen} x\,dx$, si tomas $u = x$ y $dv = \operatorname{sen} x\,dx$, tienes $du = dx$ y $v = -\cos x$, y la nueva integral es inmediata. Si eliges al revés, $u = \operatorname{sen} x$ y $dv = x\,dx$, sale $v = \frac{x^2}{2}$ y la integral $\int \frac{x^2}{2}\cos x\,dx$, más difícil que la de partida.

En $\int \ln x\,dx$, toma $u = \ln x$ y $dv = dx$. Entonces $du = \frac{dx}{x}$ y $v = x$, y la segunda integral es $\int 1\,dx = x$. El resultado es $x \ln x - x + C$.

Las fórmulas

Integración por partes. En una integral definida, el primer término se evalúa entre los límites:

Cambio de variable. Si $u = g(x)$, entonces $du = g'(x)\,dx$ y

¿Por qué funciona? Sea $F$ una primitiva de $f$. Por la regla de la cadena, la derivada de $F(g(x))$ es $F'(g(x))\,g'(x) = f(g(x))\,g'(x)$, la función que se integra a la izquierda. Así que, por la regla de Barrow, esa integral vale $F(g(b)) - F(g(a))$, que es justo $F(u)$ evaluada entre $u = g(a)$ y $u = g(b)$.

En una integral definida, los límites se pueden tratar de dos maneras:

• cambiarlos por $g(a)$ y $g(b)$ y terminar en $u$, como en la animación;
• o calcular la primitiva en $u$, deshacer el cambio para volver a $x$ y usar los límites originales $a$ y $b$.

No mezcles nunca las dos.

Las dos fórmulas son reglas de derivación aplicadas al revés, y sirven para calcular una integral definida cuando la primitiva no se ve a simple vista.

Ejemplo 1: integración por partes - la integral de $x\,e^x$

Queremos calcular $\int_0^1 x\,e^x\,dx$. Es el producto de una potencia de $x$ por una exponencial, un caso típico de integración por partes.

Ejemplo 2: cambio de variable - la integral de $x\,e^{-x^2}$

Queremos calcular $\int_0^2 x\,e^{-x^2}\,dx$, el área de la animación.

Ahora tú

Calcula $\int_0^{\pi} x \operatorname{sen} x\,dx$. ¿Qué factor te conviene tomar como $u$?

Errores frecuentes

• Dejar los límites antiguos tras el cambio de variable. Si escribes $\frac{1}{2}\int_0^2 e^{-u}\,du$, obtienes $\frac{1 - e^{-2}}{2} \approx 0{,}432$ en lugar de $0{,}491$. Los límites $0$ y $2$ eran valores de $x$.
• Que quede alguna $x$ en la integral. Después del cambio no puede quedar nada en $x$, tampoco el $dx$. Si algún factor no se simplifica, seguramente el cambio no es el adecuado. Por ejemplo, $\int e^{x^2}\,dx$ no se resuelve así, porque falta el factor $x$.
• Perder un factor constante. De $du = 2x\,dx$ sale $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$, no $2\,du$.
• Perder un signo menos en la integración por partes. La fórmula es $uv - \int v\,du$. Olvidar ese menos, o el signo que lleva $v$, es un despiste frecuente.
• Elegir mal $u$ y $dv$. Si la nueva integral es más difícil que la de partida, intercambia los papeles. Si ninguna elección funciona, puede que este método no sirva para esa integral.

En Bachillerato y en la universidad

En España, el currículo estatal de Matemáticas II, en 2.º de Bachillerato, incluye la integral definida como área bajo una curva y las «técnicas elementales para el cálculo de primitivas», sin nombrarlas una a una (Real Decreto 243/2022). Los currículos de las comunidades autónomas lo concretan. El de la Comunidad de Madrid, por ejemplo, cita expresamente los «métodos de integración por partes y por sustitución (ejemplos sencillos de cambio de variable)», junto con la regla de Barrow (Decreto 64/2022).

¿Y en la PAU? En la modalidad de Ciencias y Tecnología, uno de los exámenes es el de Matemáticas II o el de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, a elección de cada estudiante (Real Decreto 534/2024). Cada comunidad concreta qué entra en el examen. Las orientaciones de Andalucía para Matemáticas II del curso 2026-2027, por ejemplo, incluyen la integración por partes, también aplicada varias veces seguidas, y la integración por cambio de variable (orientaciones de la PAU). Consulta las de tu comunidad.

En la universidad, las dos técnicas son temas habituales del primer curso de cálculo. A veces hay que integrar por partes dos veces seguidas, como en $\int t^2 e^t\,dt$. Y algunas funciones, como $e^{x^2}$, no tienen una primitiva que pueda escribirse con las funciones elementales: ahí no sirve ninguna elección de $u$.

Ponte a prueba

Tarjetas para repasar

Dale la vuelta a cada tarjeta y di si te sabías la respuesta. Las que todavía no te sepas vuelven al final del mazo. Por qué conviene repasarlas dentro de unos días te lo contamos en la guía Repetición espaciada.