Integração por partes e por substituição - as duas técnicas, passo a passo

A ideia: as regras de derivação lidas ao contrário

Para derivar um produto ou uma função composta, você usa a regra do produto e a regra da cadeia. Para integrar, não existem regras assim: a integral de um produto não é o produto das integrais. O que existe são duas técnicas que pegam essas regras de derivação e as leem de trás para a frente:

• a regra do produto dá origem à integração por partes;
• a regra da cadeia dá origem à integração por substituição.

Por isso, diante da integral de um produto, veja se um dos fatores fica mais simples ao ser derivado. Diante de uma função composta, veja se a derivada da função de dentro (a menos de uma constante) aparece como fator ao lado dela.

Integração por substituição: a mesma área em outra variável

Avance pela animação com os botões ou com as setas do teclado. Vamos calcular a área sob o gráfico de $x\,e^{-x^2}$ entre $0$ e $2$.

Repare nos limites: $0$ e $2$ viraram $0$ e $4$, e o gráfico do integrando também mudou. O valor que procurávamos continua o mesmo.

Integração por partes: a regra do produto ao contrário

Da regra do produto, $(uv)' = u'v + uv'$, vem $uv' = (uv)' - u'v$. Integrando os dois membros e escrevendo $v'\,dx$ como $dv$ e $u'\,dx$ como $du$, chegamos à fórmula da integração por partes:

A técnica vale a pena quando a integral $\int v\,du$, do lado direito, é mais simples que a integral de partida.

Experimente: os dois termos da fórmula

Escolha uma função e mova o limite superior $b$. O gráfico interativo mostra três números: o primeiro termo da fórmula, $[uv]$ entre os limites; o segundo termo, $\int v\,du$; e a própria integral. A integral é sempre o primeiro número menos o segundo.

Repare que:

• nos três casos, $u$ é o fator que fica mais simples ao ser derivado: a derivada de $x$ é $1$, e a de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$;
• $dv$ é o resto do integrando, e precisa ser algo que saibamos integrar;
• em $\int \ln x\,dx$ não aparece produto nenhum. Por isso escrevemos $\ln x$ como $\ln x \cdot 1$ e tomamos $dv = dx$.

Como escolher $u$ e $dv$

Não há uma regra que funcione sempre, mas há um critério simples: escolha $u$ e $dv$ de modo que $\int v\,du$ não seja mais difícil que a integral original. Na prática:

• para $u$, escolha o fator que fica mais simples ao ser derivado, como $x$ ou $\ln x$;
• para $dv$, escolha um fator que você saiba integrar.

Em $\int x \operatorname{sen} x\,dx$, a escolha $u = x$ e $dv = \operatorname{sen} x\,dx$ dá $du = dx$ e $v = -\cos x$, e a nova integral é só $\int (-\cos x)\,dx$. A escolha contrária, $u = \operatorname{sen} x$ e $dv = x\,dx$, dá $v = \frac{x^2}{2}$ e a integral $\int \frac{x^2}{2}\cos x\,dx$, mais difícil que a original.

Em $\int \ln x\,dx$, tome $u = \ln x$ e $dv = dx$. Então $du = \frac{dx}{x}$, $v = x$, e a segunda integral é $\int 1\,dx = x$. O resultado é $x \ln x - x + C$.

As fórmulas

Integração por partes. Numa integral definida, o termo $uv$ é calculado entre os limites de integração:

Integração por substituição. Se $u = g(x)$, então $du = g'(x)\,dx$ e

Por que funciona? Seja $F$ uma primitiva de $f$. Pela regra da cadeia, $\big(F(g(x))\big)' = f(g(x))\,g'(x)$, e então a integral da esquerda vale $F(g(b)) - F(g(a))$. Isso é exatamente a integral de $f(u)$ de $u = g(a)$ até $u = g(b)$.

Numa integral definida, há duas maneiras de lidar com os limites:

• convertê-los em $g(a)$ e $g(b)$ e terminar a conta em $u$ - como fez a animação;
• ou calcular primeiro a integral indefinida em $u$, voltar para $x$ e usar os limites originais $a$ e $b$.

Não misture as duas: os limites antigos são de $x$, e os novos, de $u$.

As duas técnicas vêm de regras de derivação e ajudam a calcular uma integral definida quando a primitiva não é imediata.

Exemplo 1: integração por partes - a integral de $x\,e^x$

Queremos calcular $\int_0^1 x\,e^x\,dx$. O integrando é $x$ vezes uma exponencial, então vamos tentar a integração por partes.

Exemplo 2: integração por substituição - a integral de $x\,e^{-x^2}$

Queremos calcular $\int_0^2 x\,e^{-x^2}\,dx$, a área da animação.

Sua vez

Calcule $\int_0^{\pi} x \operatorname{sen} x\,dx$. Qual fator convém escolher como $u$?

Erros comuns

• Usar os limites antigos depois da substituição. Se você escrever $\frac{1}{2}\int_0^2 e^{-u}\,du$, o resultado sai $\frac{1 - e^{-2}}{2} \approx 0{,}432$ em vez de $0{,}491$. Os limites $0$ e $2$ eram de $x$, não de $u$.
• Deixar um $x$ na integral. Depois da substituição, nada pode ficar em $x$, nem mesmo o $dx$. Se algum fator em $x$ não desaparecer, provavelmente essa não é a substituição certa. Por exemplo, $\int e^{x^2}\,dx$ não sai assim, porque falta o fator $x$.
• Perder um fator constante. De $du = 2x\,dx$ vem $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$, e não $2\,du$.
• Perder um sinal de menos na integração por partes. A fórmula é $uv - \int v\,du$. É fácil esquecer esse menos, ou o sinal que vem dentro do próprio $v$, como em $v = -\cos x$.
• Escolher mal $u$ e $dv$. Se a nova integral ficar mais difícil que a original, troque os papéis. Se nenhuma escolha ajudar, talvez a técnica simplesmente não sirva para essa integral.

Na faculdade

No Brasil, essas duas técnicas são assunto da faculdade e aparecem nas primeiras disciplinas de Cálculo. Em geral, fazem parte de uma lista de técnicas de integração que inclui também a substituição trigonométrica e as frações parciais.

Às vezes é preciso integrar por partes duas vezes, como em $\int x^2 e^x\,dx$. E algumas funções, como $e^{x^2}$, não têm primitiva que possa ser escrita com funções elementares - polinômios, raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e combinações delas. Nesses casos, nenhuma das duas técnicas resolve.

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Flashcards para revisão

Vire cada cartão e diga se você sabia a resposta. Os que você não sabia voltam para o fim do baralho. No guia Repetição espaçada, você descobre por que vale a pena revê-los daqui a alguns dias.