Całkowanie przez części i przez podstawienie - dwie metody krok po kroku

Główna idea: odwracamy wzory na pochodne

Pochodną iloczynu i pochodną funkcji złożonej liczymy z gotowych wzorów. Przy całkowaniu takich wzorów nie ma: całka z iloczynu nie jest iloczynem całek. Są za to dwie metody, które biorą wzory na pochodne i odczytują je od końca:

• wzór na pochodną iloczynu daje całkowanie przez części,
• wzór na pochodną funkcji złożonej daje całkowanie przez podstawienie.

Dlatego przy całce z iloczynu warto zapytać, czy jeden z czynników nie uprości się po zróżniczkowaniu. A przy funkcji złożonej - czy obok niej nie stoi pochodna funkcji wewnętrznej (z dokładnością do stałej).

Całkowanie przez podstawienie: to samo pole w nowej zmiennej

Przejdź animację krok po kroku przyciskami albo strzałkami na klawiaturze. Liczymy pole pod wykresem $x\,e^{-x^2}$ od $0$ do $2$.

Zwróć uwagę na granice: zamiast $0$ i $2$ mamy $0$ i $4$. Inny jest też wykres funkcji podcałkowej. Wartość całki, której szukaliśmy, się nie zmieniła.

Całkowanie przez części: odwrócony wzór na pochodną iloczynu

Ze wzoru na pochodną iloczynu, $(uv)' = u'v + uv'$, wynika, że $uv' = (uv)' - u'v$. Całkujemy obie strony, a $v'\,dx$ zapisujemy krócej jako $dv$, a $u'\,dx$ jako $du$. Tak powstaje wzór na całkowanie przez części:

Ten sam wzór spotkasz też w postaci $\int f\,g'\,dx = f g - \int f'\,g\,dx$, na przykład w e-podręczniku AGH. Metoda się opłaca, gdy całka $\int v\,du$ po prawej stronie jest prostsza od tej, od której zaczynamy.

Wypróbuj: dwa składniki wzoru

Wybierz funkcję i przesuwaj górną granicę $b$. Pod wykresem zobaczysz trzy liczby: pierwszy składnik wzoru, czyli $[uv]$ między granicami, drugi składnik, $\int v\,du$, i samą całkę. Całka zawsze jest różnicą dwóch pierwszych liczb.

Na co zwrócić uwagę:

• we wszystkich trzech przypadkach $u$ to czynnik, który po zróżniczkowaniu się upraszcza: pochodna $x$ to $1$, a pochodna $\ln x$ to $\frac{1}{x}$,
• $dv$ to reszta funkcji podcałkowej i musi to być coś, co umiemy scałkować,
• w $\int \ln x\,dx$ iloczynu w ogóle nie widać. Zapisujemy więc $\ln x$ jako $\ln x \cdot 1$ i bierzemy $dv = dx$.

Jak wybrać $u$ i $dv$

Nie ma reguły, która zawsze działa, ale jest prosta wskazówka: wybierz je tak, żeby całka $\int v\,du$ była nie trudniejsza od wyjściowej. W praktyce:

• za $u$ bierz czynnik, który po zróżniczkowaniu się upraszcza, na przykład $x$ albo $\ln x$,
• za $dv$ bierz czynnik, który umiesz scałkować.

Dla $\int x \sin x\,dx$ wybór $u = x$, $dv = \sin x\,dx$ daje $du = dx$ i $v = -\cos x$, a nowa całka to po prostu $\int (-\cos x)\,dx$. Odwrotny wybór, $u = \sin x$, $dv = x\,dx$, daje $v = \frac{x^2}{2}$ i całkę $\int \frac{x^2}{2}\cos x\,dx$, trudniejszą od wyjściowej.

Dla $\int \ln x\,dx$ weź $u = \ln x$ i $dv = dx$. Wtedy $du = \frac{dx}{x}$, $v = x$, a druga całka to $\int 1\,dx = x$. Wynik to $x \ln x - x + C$.

Wzory

Całkowanie przez części. W całce oznaczonej pierwszy składnik liczymy między granicami:

Całkowanie przez podstawienie. Jeśli $u = g(x)$, to $du = g'(x)\,dx$ i

Dlaczego to działa? Niech $F$ będzie funkcją pierwotną $f$. Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej $\big(F(g(x))\big)' = f(g(x))\,g'(x)$, więc całka po lewej stronie jest równa $F(g(b)) - F(g(a))$. Dokładnie tyle samo wynosi całka z $f(u)$ od $u = g(a)$ do $u = g(b)$.

Z granicami w całce oznaczonej można postąpić na dwa sposoby:

• przeliczyć je na $g(a)$ i $g(b)$ i dokończyć rachunek w zmiennej $u$ - tak było w animacji,
• albo najpierw policzyć całkę nieoznaczoną w zmiennej $u$, wrócić do $x$ i wstawić stare granice $a$ i $b$.

Nie mieszaj tych sposobów: stare granice pasują tylko do $x$, a nowe tylko do $u$.

Obie metody odwracają wzory z wyjaśnienia o pochodnej i pomagają policzyć całkę oznaczoną, gdy funkcji pierwotnej nie widać od razu.

Przykład 1: całkowanie przez części - całka z $x\,e^x$

Liczymy $\int_0^1 x\,e^x\,dx$. Funkcja podcałkowa to iloczyn $x$ i funkcji wykładniczej, więc próbujemy całkowania przez części.

Przykład 2: całkowanie przez podstawienie - całka z $x\,e^{-x^2}$

Liczymy $\int_0^2 x\,e^{-x^2}\,dx$, czyli pole z animacji.

Teraz Ty

Policz $\int_0^{\pi} x \sin x\,dx$. Który czynnik warto wziąć za $u$?

Najczęstsze błędy

• Stare granice po podstawieniu. Jeśli zapiszesz $\frac{1}{2}\int_0^2 e^{-u}\,du$, wyjdzie $\frac{1 - e^{-2}}{2} \approx 0{,}432$ zamiast $0{,}491$. Granice $0$ i $2$ dotyczyły $x$, a nie $u$.
• W całce zostaje $x$. Po podstawieniu nie może zostać nic z $x$, także $dx$. Jeśli jakiś czynnik się nie skraca, podstawienie jest prawdopodobnie źle dobrane. Na przykład $\int e^{x^2}\,dx$ nie da się tak policzyć, bo brakuje czynnika $x$.
• Zgubiony stały czynnik. Z $du = 2x\,dx$ wynika $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$, a nie $2\,du$.
• Zgubiony minus przy całkowaniu przez części. Wzór to $uv - \int v\,du$. Łatwo pominąć ten minus albo znak w samym $v$, na przykład w $v = -\cos x$.
• Zły wybór $u$ i $dv$. Jeśli nowa całka jest trudniejsza od wyjściowej, zamień role. Gdy żaden podział nie pomaga, ta metoda może po prostu nie pasować do tej całki.

W szkole i na studiach

W liceum całek nie ma, ale wzory, które te metody odwracają, już tak. Obowiązująca podstawa programowa matematyki w zakresie rozszerzonym wymaga liczenia pochodnej iloczynu i funkcji złożonej, a o całkach nie mówi. Podobnie wymagania matury rozszerzonej z matematyki opisane w informatorze CKE. Całkowania przez części i przez podstawienie uczysz się więc dopiero na studiach - na kierunkach ścisłych i technicznych to stały element pierwszego kursu analizy matematycznej. Tak jest też w otwartych e-podręcznikach AGH „Całka nieoznaczona” i „Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej”.

Bywa, że całkowanie przez części trzeba zastosować dwa razy, na przykład w $\int x^2 e^x\,dx$. Niektóre funkcje, na przykład $e^{x^2}$, nie mają funkcji pierwotnej, którą da się zapisać za pomocą funkcji elementarnych - wtedy nie pomoże żadne podstawienie ani żaden podział na $u$ i $dv$.

Sprawdź się

Fiszki do powtórki

Odwróć fiszkę i oceń, czy znasz odpowiedź. Te, których jeszcze nie znasz, wrócą na koniec talii. Dlaczego warto wrócić do nich za kilka dni, przeczytasz w poradniku Powtórki rozłożone w czasie.