Partielle Integration und Integration durch Substitution - Schritt für Schritt

Die Idee: Ableitungsregeln rückwärts lesen

Für die Ableitung eines Produkts gibt es die Produktregel, für die Ableitung einer verketteten Funktion die Kettenregel. Beim Integrieren gibt es keine so einfachen Gegenstücke: Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale. Stattdessen liest man die beiden Ableitungsregeln rückwärts:

• aus der Produktregel wird die partielle Integration,
• aus der Kettenregel wird die Integration durch Substitution.

Siehst du im Integral ein Produkt, frag dich also: Wird einer der Faktoren beim Ableiten einfacher? Siehst du eine verkettete Funktion, frag dich: Steht daneben, vielleicht bis auf einen konstanten Faktor, die Ableitung der inneren Funktion?

Integration durch Substitution: dieselbe Fläche in einer neuen Variablen

Geh die Animation mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten Schritt für Schritt durch. Gesucht ist die Fläche unter dem Graphen von $x\,e^{-x^2}$ zwischen $0$ und $2$.

Achte auf die Grenzen: Aus $0$ und $2$ sind $0$ und $4$ geworden, und auch der Graph des Integranden ist ein anderer. Der gesuchte Wert hat sich nicht geändert.

Partielle Integration: die Produktregel rückwärts

Aus der Produktregel $(uv)' = u'v + uv'$ folgt $uv' = (uv)' - u'v$. Integriere beide Seiten und schreib $v'\,dx$ als $dv$ und $u'\,dx$ als $du$. So erhältst du die Formel der partiellen Integration:

Sie lohnt sich, wenn das Integral $\int v\,du$ auf der rechten Seite einfacher ist als das, mit dem du angefangen hast. Oft findest du dieselbe Regel auch in dieser Form:

Probier es aus: die beiden Terme der Formel

Wähle eine Funktion und verschiebe die obere Grenze $b$. Unter dem Regler stehen drei Zahlen: der erste Term der Formel, $[uv]$ zwischen den Grenzen, der zweite Term, $\int v\,du$, und das Integral selbst. Das Integral ist immer die erste Zahl minus die zweite.

Achte dabei auf Folgendes:

• in allen drei Fällen ist $u$ der Faktor, der beim Ableiten einfacher wird: Die Ableitung von $x$ ist $1$, die von $\ln x$ ist $\frac{1}{x}$,
• $dv$ ist der Rest des Integranden, und den müssen wir integrieren können,
• in $\int \ln x\,dx$ ist gar kein Produkt zu sehen. Darum schreiben wir $\ln x$ als $\ln x \cdot 1$ und nehmen $dv = dx$.

Wie wählt man $u$ und $dv$?

Eine Regel, die immer funktioniert, gibt es nicht, wohl aber eine einfache Faustregel: Wähle so, dass $\int v\,du$ nicht schwieriger ist als das ursprüngliche Integral. In der Praxis heißt das:

• als $u$ nimmst du den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird, etwa $x$ oder $\ln x$,
• als $dv$ nimmst du einen Faktor, den du integrieren kannst.

Bei $\int x \sin x\,dx$ führt die Wahl $u = x$, $dv = \sin x\,dx$ auf $du = dx$ und $v = -\cos x$. Das neue Integral ist dann nur noch $\int (-\cos x)\,dx$. Wählst du umgekehrt $u = \sin x$ und $dv = x\,dx$, erhältst du $v = \frac{x^2}{2}$ und das Integral $\int \frac{x^2}{2}\cos x\,dx$ - und das ist schwieriger als das ursprüngliche.

Bei $\int \ln x\,dx$ nimmst du $u = \ln x$ und $dv = dx$. Dann ist $du = \frac{dx}{x}$ und $v = x$, und das zweite Integral ist $\int 1\,dx = x$. Das Ergebnis lautet $x \ln x - x + C$.

Die beiden Regeln

Partielle Integration. Bei einem bestimmten Integral wertest du den ersten Term zwischen den Grenzen aus:

Integration durch Substitution. Ist $u = g(x)$, dann ist $du = g'(x)\,dx$ und

Warum gilt das? Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Nach der Kettenregel ist $\big(F(g(x))\big)' = f(g(x))\,g'(x)$. Das Integral links ist also $F(g(b)) - F(g(a))$ - und genau das ist das Integral von $f(u)$ von $u = g(a)$ bis $u = g(b)$.

Für die Grenzen eines bestimmten Integrals gibt es zwei Wege:

• Grenzen mitsubstituieren: Du rechnest sie in $g(a)$ und $g(b)$ um und bleibst bis zum Schluss bei $u$ - so wie in der Animation,
• Rücksubstitution: Du bestimmst zuerst eine Stammfunktion in $u$, ersetzt $u$ wieder durch $g(x)$ und setzt die ursprünglichen Grenzen $a$ und $b$ ein.

Vermische die beiden Wege nicht: Die alten Grenzen gehören zu $x$, die neuen zu $u$.

Beide Verfahren kehren Regeln des Ableitens um. Sie helfen dir, ein bestimmtes Integral zu berechnen, wenn die Stammfunktion nicht sofort zu sehen ist.

Beispiel 1: partielle Integration - das Integral von $x\,e^x$

Gesucht ist $\int_0^1 x\,e^x\,dx$. Der Integrand ist $x$ mal eine Exponentialfunktion, also versuchen wir es mit der partiellen Integration.

Beispiel 2: Integration durch Substitution - das Integral von $x\,e^{-x^2}$

Gesucht ist $\int_0^2 x\,e^{-x^2}\,dx$, also die Fläche aus der Animation.

Jetzt du

Berechne $\int_0^{\pi} x \sin x\,dx$. Welchen Faktor wählst du als $u$?

Häufige Fehler

• Die alten Grenzen nach einer Substitution. Schreibst du $\frac{1}{2}\int_0^2 e^{-u}\,du$, erhältst du $\frac{1 - e^{-2}}{2} \approx 0{,}432$ statt $0{,}491$. Die Grenzen $0$ und $2$ gehörten zu $x$, nicht zu $u$.
• Ein $x$ bleibt im Integral stehen. Nach der Substitution darf kein $x$ mehr übrig sein, auch kein $dx$. Lässt sich ein Faktor nicht wegkürzen, passt die Substitution wahrscheinlich nicht. Bei $\int e^{x^2}\,dx$ zum Beispiel klappt $u = x^2$ nicht, weil der Faktor $x$ fehlt.
• Ein verlorener konstanter Faktor. Aus $du = 2x\,dx$ folgt $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$, nicht $2\,du$.
• Ein verlorenes Minus bei der partiellen Integration. Die Formel lautet $uv - \int v\,du$. Dieses Minus geht leicht verloren, ebenso das Vorzeichen in $v$ selbst, etwa bei $v = -\cos x$.
• Eine ungünstige Wahl von $u$ und $dv$. Wird das neue Integral schwieriger als das alte, tausch die Rollen. Hilft keine Aufteilung, passt das Verfahren für dieses Integral vielleicht einfach nicht.

Im Abitur und im Studium

Welche Integrationsverfahren du im Abitur beherrschen musst, legt jedes Bundesland in seinem Lehrplan fest. Die bundesweiten Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz nennen weder die partielle Integration noch die Integration durch Substitution. Sie verlangen, dass du Funktionen mithilfe von Stammfunktionen integrierst und den Hauptsatz anschaulich begründest.

In mehreren Bundesländern musst du von Hand nur die lineare Substitution können, also Integrale wie $\int e^{2x+1}\,dx$, bei denen die innere Funktion linear ist. So steht es im Bildungsplan von Baden-Württemberg, im Fachlehrplan von Sachsen-Anhalt und im sächsischen Lehrplan. Der Kernlehrplan von Nordrhein-Westfalen nennt keines der beiden Verfahren. Der bayerische Lehrplan für die 13. Jahrgangsstufe enthält fertige Regeln für Integranden der Form $\frac{f'(x)}{f(x)}$ und $f'(x)\,e^{f(x)}$. Das sind Sonderfälle der Substitution: Auch $x\,e^{-x^2}$ aus Beispiel 2 hat die zweite Form, bis auf den Faktor $-\frac{1}{2}$.

Pflicht sind die partielle Integration und die allgemeine Substitution in keinem dieser Länder. Das hessische Kerncurriculum nennt beide für den Leistungskurs, allerdings in einem Themenfeld, das nicht verbindlich ist. In Baden-Württemberg behandelt sie der Vertiefungskurs Mathematik, ein freiwilliger Kurs zur Vorbereitung auf das Studium. Ob die beiden Verfahren in deinem Kurs drankommen, weiß deine Lehrkraft.

Im Studium gehören beide Verfahren zum Standardstoff der Analysis. Manchmal braucht man die partielle Integration zweimal hintereinander, etwa bei $\int x^2 e^x\,dx$. Und manche Funktionen, zum Beispiel $e^{x^2}$, haben gar keine Stammfunktion, die sich mit elementaren Funktionen wie Potenzen, $e^x$, $\ln x$ oder $\sin x$ aufschreiben lässt. Dort hilft keines der beiden Verfahren.

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