Całka oznaczona - co to jest? Pole pod wykresem krok po kroku

Główna idea: suma wielu małych kawałków

Pole prostokąta to szerokość razy wysokość. Kłopot zaczyna się, gdy górny brzeg obszaru jest krzywy. Pomysł całki jest prosty: pokrój obszar na wąskie paski. Każdy pasek jest prawie prostokątem, więc jego pole łatwo policzyć. Suma pól pasków przybliża całe pole - tym lepiej, im paski są węższe.

Tak samo liczy się wiele rzeczy wokół nas:

• droga to pole pod wykresem prędkości - gdy prędkość się zmienia, sumujesz krótkie odcinki czasu razy prędkość,
• zużyta energia to pole pod wykresem mocy,
• przychód z całego dnia to suma przychodów z kolejnych minut.

Od prostokątów do całki

Animację możesz przechodzić krok po kroku przyciskami albo strzałkami na klawiaturze.

Przy bardzo wąskich paskach nie ma znaczenia, czy wysokość bierzemy z lewego końca, z prawego czy ze środka - sumy zbliżają się do tej samej liczby.

Wypróbuj: prostokąty pod dowolnym wykresem

Wybierz funkcję i przedział, zmieniaj liczbę prostokątów i sposób ustalania ich wysokości, a potem porównaj sumę z całką. Dla $\sin x$ i $x^3 - 3x$ część wykresu leży pod osią $x$ - tam prostokąty liczą się na minus.

Co warto zauważyć:

• im więcej prostokątów, tym mniejsza różnica między sumą a całką,
• prostokąty ze środka paska zwykle trafiają dużo lepiej niż te z lewego albo prawego końca - przy kilku prostokątach różnica jest już niewielka,
• gdy część wykresu jest nad osią, a część pod nią, całka może wyjść bliska zeru, choć obszar wcale nie jest mały.

Definicja

Dzielimy przedział $[a, b]$ na $n$ pasków o szerokości $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ i w każdym wybieramy punkt $x_i$. Całka oznaczona to granica sumy pól prostokątów:

Znak $\int$ to wydłużona litera S - od „suma”, a $dx$ przypomina o szerokości pasków.

Liczenie granicy sumy za każdym razem byłoby żmudne. Na szczęście jest skrót - twierdzenie Newtona-Leibniza. Jeśli $F$ jest funkcją pierwotną $f$, czyli $F'(x) = f(x)$, to

Skąd ten wzór? Pochodna $f = F'$ mówi, jak szybko rośnie $F$. Na wąskim pasku $F$ rośnie więc o mniej więcej $f(x_i)\,\Delta x$ - dokładnie o pole prostokąta. Suma tych przyrostów od $a$ do $b$ to cały przyrost $F$, czyli $F(b) - F(a)$. Całkowanie i liczenie pochodnej to działania odwrotne.

Przykład 1: pole pod parabolą

Funkcja pierwotna $x^2$ to $\frac{x^3}{3}$, bo $\left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2$. Zatem

To dokładnie ta liczba, do której zbliżały się prostokąty. A pole z pytania na początku to $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$.

Przykład 2: pole pod sinusem

Funkcja pierwotna $\sin x$ to $-\cos x$, bo $(-\cos x)' = \sin x$. Zatem

Teraz Ty

Policz $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$, a potem sprawdź wynik geometrycznie: jaką figurą jest obszar pod tym wykresem?

Najczęstsze błędy

• Pole pod osią $x$. Całka liczy je na minus. $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, choć wykres razem z osią ogranicza obszar o polu $4$. Żeby dostać pole, całkujemy osobno części nad osią i pod nią, a potem dodajemy wartości bezwzględne.
• Odwrotna kolejność. To $F(b) - F(a)$, a nie $F(a) - F(b)$. Zamiana kolejności zmienia znak wyniku.
• Stała $C$. W całce nieoznaczonej piszemy $+\,C$, bo funkcji pierwotnych jest nieskończenie wiele. W całce oznaczonej $C$ się skraca: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.
• Mylenie całki oznaczonej z nieoznaczoną. Oznaczona, z granicami $a$ i $b$, to liczba. Nieoznaczona to rodzina funkcji $F(x) + C$.

Na studiach

Całka oznaczona to jeden z głównych tematów pierwszego kursu analizy matematycznej na studiach. W otwartym e-podręczniku AGH „Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej”, na przykład, po definicji Riemanna i twierdzeniu Newtona-Leibniza przychodzą całkowanie przez części i przez podstawienie, całki niewłaściwe i zastosowania - pola figur płaskich, długości łuków, objętości brył obrotowych i zadania z fizyki. W fizyce całka daje drogę z prędkości i pracę z siły.

Sprawdź się

Fiszki do powtórki

Odwróć fiszkę i oceń, czy znasz odpowiedź. Te, których jeszcze nie znasz, wrócą na koniec talii. Dlaczego warto wrócić do nich za kilka dni, przeczytasz w poradniku Powtórki rozłożone w czasie.