O que é derivada? Explicação passo a passo

A ideia: taxa de variação

Uma função descreve como uma grandeza depende de outra: a distância depende do tempo, a temperatura depende da hora do dia, o custo depende da quantidade produzida. A taxa média de variação em um intervalo é fácil de calcular: é a variação de $y$ dividida pela variação de $x$.

O difícil é a taxa em um único ponto. Em um só instante o carro não percorre distância nenhuma, então a conta “distância dividida pelo tempo” dá $\frac{0}{0}$. A derivada contorna esse problema com uma ideia esperta: calculamos a taxa média em intervalos cada vez menores e observamos de que número ela se aproxima.

A mesma ideia aparece em muitos lugares:

• a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade;
• a rapidez com que algo esquenta é a derivada da temperatura em relação ao tempo;
• em economia, o custo marginal diz quanto o custo total aumenta quando se produz uma unidade a mais.

Da secante à tangente

No gráfico, a taxa média de variação é o coeficiente angular de uma reta secante - uma reta que passa por dois pontos do gráfico. Avance pela animação passo a passo com os botões ou com as setas do teclado.

Repare que em nenhum momento colocamos $h = 0$ - isso daria $\frac{0}{0}$. Só observamos de que valor o coeficiente angular da secante se aproxima. É isso que chamamos de limite.

Experimente: a derivada em cada ponto

A derivada não é um número só: em cada ponto do gráfico, a tangente tem uma inclinação diferente. Mova o ponto $x_0$ e observe a tangente. Cada posição deixa um pontinho no gráfico de baixo, na altura do coeficiente angular da tangente. Antes de mostrar o gráfico inteiro de $f'$, tente adivinhar como ele é.

O que vale notar:

• para $f(x) = x^2$, os pontinhos formam a reta $y = 2x$ - o gráfico da derivada;
• onde a função cresce, a derivada é positiva, e onde ela decresce, a derivada é negativa;
• em um pico ou em um vale do gráfico, a tangente fica horizontal, então a derivada é zero; para $x^3 - 3x$, isso acontece em $x = -1$ e em $x = 1$;
• o gráfico da derivada de $\operatorname{sen} x$ é o gráfico de $\cos x$.

A definição

A derivada de uma função $f$ no ponto $x_0$ é o limite

desde que esse limite exista e seja finito. A fração dentro do limite é a taxa média de variação entre $x_0$ e $x_0 + h$ - o coeficiente angular da secante da animação. Quando calculamos a derivada em cada ponto, ganhamos uma nova função, $f'(x)$, que associa a cada $x$ o coeficiente angular da tangente naquele ponto.

A reta tangente ao gráfico no ponto $(x_0, f(x_0))$ tem coeficiente angular $f'(x_0)$, então a equação dela é

Exemplo 1: a derivada de x² pela definição

Calculamos a taxa média de variação em um ponto qualquer $x$ e só no final fazemos $h$ tender a zero:

Logo, $(x^2)' = 2x$. Em $x = 1$, isso dá $2$ - o mesmo valor que a animação mostrou.

Exemplo 2: a reta tangente a x³ no ponto 2

A tangente ao gráfico de $y = x^3$ no ponto $(2, 8)$ tem coeficiente angular $12$, e a equação dela é $y = 12(x - 2) + 8$, ou seja, $y = 12x - 16$.

Sua vez

Use a definição para calcular a derivada de $f(x) = 3x^2 - 2x$ no ponto $x_0 = 1$.

Erros comuns

• Colocar $h = 0$ logo de cara. Isso dá $\frac{0}{0}$, que não é um número. Primeiro simplifique a fração (cortando o $h$) e só depois veja de que valor ela se aproxima.
• Confundir $f'(x_0)$ com $f'(x)$. $f'(1) = 2$ é um número: o coeficiente angular em um ponto. Já $f'(x) = 2x$ é uma função: o coeficiente angular em cada ponto.
• “A tangente só toca o gráfico em um ponto.” Nem sempre. A tangente a $y = x^3$ no ponto $(1, 1)$ é $y = 3x - 2$, e ela corta o gráfico de novo no ponto $(-2, -8)$. A tangente fala da direção do gráfico em um lugar, não de quantos pontos os dois têm em comum.
• “Toda função tem derivada em todos os pontos.” O gráfico de $|x|$ tem um bico no zero: as secantes da direita têm coeficiente angular $1$, e as da esquerda, $-1$. O limite não existe, então não há derivada no zero.

Na escola e na faculdade

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) define as aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver na educação básica, e derivadas não estão entre elas. O que o ensino médio traz de mais próximo é a habilidade EM13MAT101: interpretar situações que envolvem variação de grandezas analisando gráficos de funções e taxas de variação (BNCC). Se você já estudou taxas de variação na escola, então já conhece o ponto de partida desta explicação.

Na faculdade, a derivada é um dos temas centrais de Cálculo I e vem logo depois dos limites e da continuidade. O curso costuma partir da definição e da reta tangente e passar às regras de derivação e à regra da cadeia. Depois vêm as aplicações: taxas de variação, máximos e mínimos e esboço de gráficos. O livro aberto “Cálculo Diferencial e Integral I”, de Magda e Henrique Mongelli, segue esse caminho e traz também a regra de L’Hospital e a derivação implícita.

Teste seus conhecimentos

Flashcards para revisar

Vire o cartão e diga se você sabia a resposta. Os que você ainda não sabia voltam para o fim do baralho. Por que vale a pena revê-los daqui a alguns dias? A resposta está no guia Repetição espaçada.