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MathematikOberstufeSchwer

Schachtel mit maximalem Volumen

Aus einem rechteckigen Stück Karton mit den Maßen 30 cm×48 cm30\ \text{cm} \times 48\ \text{cm} schneidest du an den vier Ecken gleich große Quadrate mit der Seitenlänge xx aus. Dann knickst du die Ränder nach oben und erhältst eine oben offene Schachtel (ohne Deckel) in Form eines Quaders.

Für welches xx wird das Volumen der Schachtel maximal? Berechne dieses maximale Volumen.

Hinweisanzeigen

Drücke die Maße der Schachtel durch xx aus: Die Höhe ist xx, und jede Seite der Grundfläche ist um 2x2x kürzer als die Seite des Kartons. Überlege dir, bevor du das Maximum suchst, welche Werte für xx überhaupt infrage kommen.

Lösungversuch es zuerst selbst

Schritt 1. Maße der Schachtel aufstellen

Zuerst drücken wir alle Maße der Schachtel durch xx aus. An beiden Enden jeder Kartonseite fällt ein Quadrat weg, also wird jede Seite um 2x2x kürzer. Die Grundfläche ist damit (48−2x)(48 - 2x) lang und (30−2x)(30 - 2x) breit, und die hochgeknickten Ränder sind xx hoch:

a=48−2xb=30−2xh=x\begin{aligned} a &= 48 - 2x \\ b &= 30 - 2x \\ h &= x \end{aligned}

Schritt 2. Definitionsbereich bestimmen

Damit überhaupt eine Schachtel entsteht, müssen alle drei Maße positiv sein. Aus der Höhe folgt x>0x > 0, und aus 30−2x>030 - 2x > 0 folgt x<15x < 15. Die Bedingung 48−2x>048 - 2x > 0 liefert x<24x < 24 - das ist mit x<15x < 15 schon erfüllt. Der Definitionsbereich ist also:

DV=]0; 15[D_V = \left]0;\, 15\right[

Schritt 3. Zielfunktion aufstellen

Das Volumen soll maximal werden, es ist also unsere Zielfunktion. Das Volumen eines Quaders ist Länge mal Breite mal Höhe:

V(x)=x(48−2x)(30−2x)V(x) = x(48 - 2x)(30 - 2x)

Wir multiplizieren die beiden Klammern aus:

(48−2x)(30−2x)=1440−96x−60x+4x2=4x2−156x+1440\begin{aligned} &(48 - 2x)(30 - 2x) \\ &= 1440 - 96x - 60x + 4x^2 \\ &= 4x^2 - 156x + 1440 \end{aligned}

Dann multiplizieren wir mit xx:

V(x)=4x3−156x2+1440x\boxed{V(x) = 4x^3 - 156x^2 + 1440x}

Schritt 4. Ableitung bestimmen

Um die Extremstellen zu finden, brauchen wir die Ableitung. Wir leiten jeden Summanden einzeln ab:

V′(x)=12x2−312x+1440V'(x) = 12x^2 - 312x + 1440

Wir klammern den gemeinsamen Faktor 1212 aus:

V′(x)=12(x2−26x+120)V'(x) = 12(x^2 - 26x + 120)

Schritt 5. Nullstellen der Ableitung berechnen

Eine Extremstelle kann nur dort liegen, wo V′(x)=0V'(x) = 0 ist (notwendige Bedingung). Wir lösen also die Gleichung x2−26x+120=0x^2 - 26x + 120 = 0 mit der Mitternachtsformel. Zuerst berechnen wir die Diskriminante, also den Term unter der Wurzel:

(−26)2−4⋅1⋅120=676−480=196\begin{aligned} &(-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 \\ &= 676 - 480 \\ &= 196 \end{aligned}

Wegen 196=14\sqrt{196} = 14 erhalten wir:

x1,2=26±142x_{1,2} = \frac{26 \pm 14}{2}

Die beiden Lösungen sind:

x1=26−142=6x2=26+142=20\begin{aligned} x_1 &= \frac{26 - 14}{2} = 6 \\ x_2 &= \frac{26 + 14}{2} = 20 \end{aligned}

Mit der pq-Formel kommst du auf dieselben Lösungen: x1,2=13±169−120=13±7x_{1,2} = 13 \pm \sqrt{169 - 120} = 13 \pm 7.

Die Lösung 2020 liegt nicht im Definitionsbereich ]0; 15[\left]0;\, 15\right[. Dort hat die Ableitung also nur die Nullstelle x=6x = 6. Zerlegt in Linearfaktoren lautet die Ableitung:

V′(x)=12(x−6)(x−20)V'(x) = 12(x - 6)(x - 20)

Schritt 6. Vorzeichen der Ableitung untersuchen

Ob bei x=6x = 6 wirklich ein Maximum liegt, zeigt erst der Vorzeichenwechsel der Ableitung. Für jedes xx aus dem Definitionsbereich ist der Faktor x−20x - 20 negativ, das Vorzeichen von V′V' hängt also nur vom Faktor x−6x - 6 ab. Wir prüfen das mit zwei Testwerten:

V′(1)=12⋅(−5)⋅(−19)=1140>0V′(10)=12⋅4⋅(−10)=−480<0\begin{aligned} V'(1) &= 12 \cdot (-5) \cdot (-19) \\ &= 1140 > 0 \\ V'(10) &= 12 \cdot 4 \cdot (-10) \\ &= -480 < 0 \end{aligned}
xx Vorzeichen von V′(x)V'(x) V(x)V(x)
]0; 6[\left]0;\, 6\right[ ++ steigt
66 00 Maximum
]6; 15[\left]6;\, 15\right[ −- fällt

Die Ableitung wechselt bei x=6x = 6 ihr Vorzeichen von ++ nach −-. Die Funktion VV ist auf ]0; 6]\left]0;\, 6\right] streng monoton steigend und auf [6; 15[\left[6;\, 15\right[ streng monoton fallend. Deshalb ist V(6)V(6) nicht nur ein lokales Maximum, sondern der größte Wert auf dem ganzen Definitionsbereich (globales Maximum).

Schritt 7. Maximales Volumen berechnen

Wir setzen x=6x = 6 in die Maße der Schachtel ein:

a=48−12=36b=30−12=18h=6\begin{aligned} a &= 48 - 12 = 36 \\ b &= 30 - 12 = 18 \\ h &= 6 \end{aligned}

Das Volumen ist das Produkt der drei Maße:

V(6)=36⋅18⋅6=648⋅6=3888\begin{aligned} V(6) &= 36 \cdot 18 \cdot 6 \\ &= 648 \cdot 6 \\ &= 3888 \end{aligned}

Antwort

x=6 cm\boxed{x = 6\ \text{cm}}
Vmax⁡=3888 cm3\boxed{V_{\max} = 3888\ \text{cm}^3}

Du musst an den Ecken Quadrate mit der Seitenlänge 6 cm6\ \text{cm} ausschneiden. Die Schachtel misst dann 36 cm×18 cm×6 cm36\ \text{cm} \times 18\ \text{cm} \times 6\ \text{cm} und hat das größtmögliche Volumen, 3888 cm33888\ \text{cm}^3.

Die Theorie zu dieser AufgabeKurs: Ableitungen von Grund auf

Quellen

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  1. ZUM-Unterrichten - Lernpfad Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben, Aufgabe 2 „Bastelstunde: Falten einer Schachtel“ (Volumen (a − 2x)(b − 2x) · x, Kandidaten aus V′(x) = 0, die kleinere Lösung liefert das Maximum) · CC BY-SA 4.0
  2. Serlo - Extremwertaufgabe (Zielfunktion aufstellen, Definitionsbereich: welche Werte sind sinnvoll?, liegt der Extremwert im Definitionsbereich?) · CC BY-SA 4.0
  3. Serlo - Monotonieverhalten berechnen (Vorzeichen von f′, Monotonietabelle, Ableitung in faktorisierter Form) · CC BY-SA 4.0
  4. Serlo - Extremum (lokales und globales Maximum, Vorzeichenwechselkriterium) · CC BY-SA 4.0
  5. Serlo - Mitternachtsformel (Lösungsformel für ax² + bx + c = 0, Diskriminante b² − 4ac unter der Wurzel, pq-Formel als Alternative) · CC BY-SA 4.0
  6. Bildungsplan 2016 Baden-Württemberg, Gymnasium Mathematik - 3.4.4 Klassen 11/12, Leistungsfach (Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen lösen) · amtliches Werk
  7. Fachlehrplan Gymnasium Mathematik Sachsen-Anhalt, Stand 01.08.2022 (Schuljahrgänge 11/12: Extremwertaufgaben, Monotoniesatz, lokale und globale Extrema) · CC BY-SA 3.0
  8. Active Calculus (Matthew Boelkins) - 3.6 Applied Optimization (auf Englisch: offene Schachtel aus Karton mit ausgeschnittenen Eckquadraten, Definitionsbereich, absolutes Maximum) · CC BY-SA 4.0

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