Caixa sem tampa de volume máximo

Como cortamos um quadrado em cada canto, cada lado da folha perde $x$ em cada ponta, ou seja, $2x$ no total. A base da caixa mede, então, $(48 - 2x)$ por $(30 - 2x)$, e a altura é o próprio $x$:

Para a caixa existir, todas as dimensões precisam ser positivas. Da altura vem $x > 0$, e da condição $30 - 2x > 0$ vem $x < 15$. A condição $48 - 2x > 0$ dá $x < 24$, mas isso já está garantido por $x < 15$. Logo:

ou seja, $x \in (0, 15)$.

Queremos o volume como função de uma única variável, $x$. O volume de um paralelepípedo é o produto das três dimensões:

Aplicamos a distributiva nos dois parênteses e reduzimos os termos semelhantes:

Multiplicamos o resultado por $x$:

Para achar os pontos críticos, precisamos da derivada. Derivamos termo a termo, pela regra da potência:

Colocamos o fator comum $12$ em evidência:

A derivada se anula quando $x^2 - 26x + 120 = 0$. Resolvemos essa equação do 2º grau, começando pelo discriminante:

Então $\sqrt{\Delta} = 14$ e, pela fórmula de Bhaskara, as raízes são:

O número $20$ está fora do domínio $(0, 15)$, então, dentro dele, a derivada só se anula em $x = 6$. Com as duas raízes, escrevemos a derivada na forma fatorada:

Para saber se em $x = 6$ há mesmo um máximo, estudamos o sinal de $V'$. Para todo $x$ do domínio, o fator $x - 20$ é negativo e o fator $12$ é positivo. Assim, o sinal da derivada depende só do fator $x - 6$. Conferimos com dois valores de teste:

A função $V$ é crescente em todo o intervalo $(0, 6]$ e decrescente em todo o intervalo $[6, 15)$. Por isso, $x = 6$ não é apenas um ponto de máximo local: é nele que $V$ atinge o maior valor em todo o domínio.

Substituímos $x = 6$ nas dimensões da caixa:

Multiplicamos as três dimensões: