Pudełko o największej objętości

Po wycięciu kwadratów z obu końców każdy bok arkusza skraca się o $2x$. Dno pudełka ma więc wymiary $(48 - 2x)$ i $(30 - 2x)$, a wysokość pudełka to $x$:

Wszystkie wymiary muszą być dodatnie. Warunek $x > 0$ to wysokość, a $30 - 2x > 0$ daje $x < 15$. Warunek $48 - 2x > 0$ daje $x < 24$, ale to już wynika z $x < 15$. Zatem:

Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów:

Mnożymy dwa nawiasy:

Mnożymy przez $x$:

Różniczkujemy każdy wyraz osobno:

Wyłączamy wspólny czynnik $12$:

Rozwiązujemy równanie $x^2 - 26x + 120 = 0$. Liczymy wyróżnik:

Zatem $\sqrt{\Delta} = 14$, a pierwiastki to:

Liczba $20$ nie należy do dziedziny $(0, 15)$, więc w dziedzinie pochodna zeruje się tylko w $x = 6$. Pochodną możemy zapisać w postaci iloczynowej:

Dla każdego $x$ z dziedziny czynnik $x - 20$ jest ujemny. Znak pochodnej zależy więc od czynnika $x - 6$. Sprawdzamy na przykładowych liczbach:

Funkcja rośnie na całym przedziale $(0, 6\rangle$ i maleje na całym przedziale $\langle 6, 15)$. Dlatego w $x = 6$ osiąga nie tylko maksimum lokalne, ale też największą wartość w całej dziedzinie.

Dla $x = 6$ wymiary pudełka to:

Objętość: