Caja sin tapa de volumen máximo

Para escribir el volumen necesitamos las tres dimensiones de la caja. Como se recorta un cuadrado en cada extremo, cada lado de la lámina se acorta en $2x$. Así, la base mide $(48 - 2x)$ por $(30 - 2x)$, y la altura es $x$:

Las tres dimensiones tienen que ser positivas, así que vemos qué valores de $x$ tienen sentido. La altura exige $x > 0$, y la condición $30 - 2x > 0$ da $x < 15$. La condición $48 - 2x > 0$ da $x < 24$, pero esta ya se cumple si $x < 15$. Por tanto:

El volumen de un ortoedro es el producto de sus tres dimensiones:

Multiplicamos los dos paréntesis:

Y multiplicamos el resultado por $x$:

Para saber dónde crece y dónde decrece el volumen, derivamos término a término:

Sacamos factor común $12$:

Los posibles extremos están donde la derivada vale cero, así que resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - 26x + 120 = 0$. Calculamos el discriminante:

Como $\sqrt{\Delta} = 14$, la fórmula de la ecuación de segundo grado da:

Es decir, las soluciones son:

El valor $20$ no pertenece al dominio $(0, 15)$, así que dentro del dominio la derivada solo se anula en $x = 6$. Con las dos soluciones podemos escribir la derivada factorizada:

Para saber si en $x = 6$ hay un máximo, estudiamos el signo de $V'$ a cada lado. En todo el dominio el factor $x - 20$ es negativo, así que el signo de la derivada depende solo del factor $x - 6$. Lo comprobamos con dos valores de prueba:

Recogemos los resultados en una tabla:

Como $V$ es continua, es creciente en todo el intervalo $(0, 6]$ y decreciente en todo $[6, 15)$. Por eso en $x = 6$ no solo tiene un máximo relativo: alcanza el mayor valor de todo el dominio, es decir, su máximo absoluto.

Sustituimos $x = 6$ en las tres dimensiones para obtener las medidas de la caja:

Y calculamos su volumen: